Διαφορική εξίσωση Clairaut

stelmarg · #1

Να βρεθούν όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης sin(xy'(x)-y(x))=e^y'(x)

#2

stelmarg έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2024 11:37 pm Να βρεθούν όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης

Θα θεωρήσω ότι από τυπογραφικό σφάλμα το δεξί μέλος είναι $e^{y'(x)}$ . Με άλλα λόγια, κόβοντας το περιττό

στον συμβολισμό y(x)

, δηλαδή γράφοντας σκέτο

, η δοθείσα εξίσωση είναι η $\sin(xy'-y)=e^y'$

Παραγωγίζουμε ως προς

. Θα βρούμε

$[\cos (xy'-y)] (y'+ xy'' - y')=e^{y'} y''$ , ισοδύναμα

$[\cos (xy'-y)] ( x- e^{y'}) y'' = 0$

Άρα είτε α) $\cos (xy'-y)]=0$ ή β) $x- e^{y'}=0$ ή γ) y'' =0

H α) δίνει για σταθερό $k\in \mathbb Z$ ότι $xy'-y= k\pi$ . Αυτή είναι απλή πρωτοβάθμια και λύνεται εύκολα (το αφήνω).

H β) δίνει $y'= \ln x$ που είναι άμεση με ολοκλήρωση, και

η γ) δίνει y=Ax+B

, που με αντικατάσταση πίσω στην αρχική απαιτεί $A=\ln (-\sin B)$ .

stelmarg · #3

Σας ευχαριστώ πολύ!!

Διαφορική εξίσωση Clairaut

Διαφορική εξίσωση Clairaut

Re: Διαφορική εξίσωση Clairaut

Re: Διαφορική εξίσωση Clairaut

Μέλη σε σύνδεση