Συνευθειακά και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Συνευθειακά και εφαπτομένη.png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

προσαρτήσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο BCE

και ονομάσαμε

το μέσο της

. Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την

στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι τα B , S, M

είναι συνευθειακά . β) Δείξτε ότι η

εφάπτεται του κύκλου .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 11, 2024 9:06 pm Συνευθειακά και εφαπτομένη.pngΣτο τετράγωνο προσαρτήσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο και ονομάσαμε

το μέσο της . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την στο σημείο .

α) Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά . β) Δείξτε ότι η εφάπτεται του κύκλου .

Στο τρίγωνο $ABE,AB=BE,\hat{ABE}=150^{0}\Rightarrow \hat{\omega }=15^{0}=\hat{LES}$ ,
Το τραπέζιο LTEC

είναι ισοσκελές και τα σημεία είναι συνευθειακά και
$JHM\perp CE,\hat{LES}=\hat{SET}=\hat{LCS}=\hat{CST}=15^{0}\Rightarrow SL=ST,LB=BT$
Οπότε BSJ

είναι μεσοκάθετος στο τμήμα

Αρα τα σημεία B,S,J,H,M

είναι συνευθειακά .
β) Στο τρίγωνο $CSE,SC=SE,\hat{MSE}=45^{^{0}}=\hat{ASB}=\hat{ADB}$
Αρα το τετράπλευρο DSBA

είναι εγγράψιμο σε κύκλο και $\hat{DSB}=90^{0}$ ,

Nikitas K. · #3

α)
$\angle BCS = \angle EAB$ ως οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες.

$\angle EAB = \angle AEB$ ως προσκείμενες στην βάση ισοσκελούς $\triangle ABE$ γωνίες.

$\triangle CSE$ είναι ισοσκελές, αφού $\angle SCE = \angle SEC$ ως διαφορά ίσων γωνιών ( $60^\circ - \angle BCS = 60^\circ - \angle AEB$ ).

Συνεπώς τα σημεία $B,\, S$ και

ανήκουν στην μεσοκάθετη της

άρα είναι συνευθειακά.

: Συνευθειακά και εφαπτομένη.png (356.9 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Nikitas K. · #4

β)
Έστω κύκλος $C\left(C, AB\right)$ και

το σημείο τομής της προέκτασης

με τον κύκλο

$\triangle NCE$ είναι ισόπλευρο επειδή είναι ισοσκελές και $\angle NCE = 2 \angle NBE = 60^\circ$

$\angle CSD = \angle CSM$ διότι $\triangle DCS = \triangle NCS$ από ΠΓΠ:

κοινή πλευρά, $\angle DCS = \angle NCS = 105^\circ$ και DC = CN

ως ακτίνες.

$\angle CSM = \angle MCS = 45^\circ$ διότι $\triangle CMS$ ισοσκελές, αφού $MS=\frac{CE}{2}=CM$ ως διάμεσος που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα.

Επομένως,

εφάπτεται του ημικυκλίου, διότι $DS \perp MS$ καθώς $\angle DSM = \angle CSD + \angle CSM = 90^\circ$

: Συνευθειακά και εφαπτομένη β.png (313.47 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

Συνευθειακά και εφαπτομένη

Συνευθειακά και εφαπτομένη

Re: Συνευθειακά και εφαπτομένη

Re: Συνευθειακά και εφαπτομένη

Re: Συνευθειακά και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση