Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
και 
. Να βρεθούν σημεία 
( πόσα ; ) του οριζόντιου άξονα , τέτοια
.
είναι απλά δύο σημεία στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία . Έχοντας και την δυνατότητα
.
Έχουμε να κάνουμε με έλλειψη εστιώνKARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 01, 2024 11:05 am Μόλις άριστα.pngα) Δίνονται τα σημεία
ώστε :
β) Τώρα τα
χρήσης λογισμικού (π.χ. Geogebra ) , διατυπώστε και λύστε το αντίστοιχο πρόβλημα .(
και 
που βεβαίως μπορεί να τέμνει τον οριζόντιο άξονα (
) σε δύο το πολύ σημεία. Ακόμη και χωρίς χρήση Αναλυτικής και κωνικών τομών, αλλά με χρήση γνωστού και απλού τεχνάσματος, μπορούμε να δούμε ότι η σωστή συνθήκη για την ύπαρξη δύο σημείων τομής δεν είναι η 
αλλά η 
ή 
όπου 
τα συμμετρικά των 
ως προς τον οριζόντιο άξονα: όχι δηλαδή η 
όπου 
αλλά η 
άμεσα προκύπτει η 
και και 
η οποία βρίσκεται κατά τον συνήθη τρόπο, με δύο υψώσεις εις το τετράγωνο της 
και είναι η![4[s^2-(a-b)^2]x^2-8(a-b)(p-q)xy+4[s^2-(p-q)^2]y^2-4[(a+b)s^2+(a-b)(b^2+q^2-a^2-p^2)]x](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/81e5f461afd0cdc33e650196a1e261c7.png "4[s^2-(a-b)^2]x^2-8(a-b)(p-q)xy+4[s^2-(p-q)^2]y^2-4[(a+b)s^2+(a-b)(b^2+q^2-a^2-p^2)]x")
![-4[(p+q)s^2+(p-q)(b^2+q^2-a^2-p^2)]y+[4(b^2+q^2)s^2-(s^2+b^2+q^2-a^2-p^2)^2]=0.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2710d3eeb599397719831ae407574309.png "-4[(p+q)s^2+(p-q)(b^2+q^2-a^2-p^2)]y+[4(b^2+q^2)s^2-(s^2+b^2+q^2-a^2-p^2)^2]=0.")
και λαμβάνουμε την δευτεροβάθμια![4[s^2-(a-b)^2]x^2-4[(a+b)s^2+(a-b)(b^2+q^2-a^2-p^2)]x+[4(b^2+q^2)s^2-(s^2+b^2+q^2-a^2-p^2)^2]=0.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fc9ab725cf0b0d6176e28c675df389f8.png "4[s^2-(a-b)^2]x^2-4[(a+b)s^2+(a-b)(b^2+q^2-a^2-p^2)]x+[4(b^2+q^2)s^2-(s^2+b^2+q^2-a^2-p^2)^2]=0.")
![s^4-2[(a-b)^2+(p^2+q^2)]s^2+4{[a(a-b)(b^2+q^2)-b(a-b)(a^2+p^2)]+(b^2+q^2-a^2-p^2)^2}\geq0,](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f32e8d2ffc2e94ec3f8ac0dfb47e2122.png "s^4-2[(a-b)^2+(p^2+q^2)]s^2+4{[a(a-b)(b^2+q^2)-b(a-b)(a^2+p^2)]+(b^2+q^2-a^2-p^2)^2}\geq0,")
(
) είτε όταν 
(
): κρατάμε φυσικά μόνον την πρώτη ανισότητα, η οποία στην ακραία περίπτωση ισότητας και μοναδικής λύσης, 
μας οδηγεί στην εφαπτόμενη έλλειψη,![(p+q)^2x^2-2(a-b)(p-q)xy+[(a-b)^2+4pq]y^2-2[aq^2+bp^2+(a+b)pq]x](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3a8351b6a7084f43b0ac462264ef5b35.png "(p+q)^2x^2-2(a-b)(p-q)xy+[(a-b)^2+4pq]y^2-2[aq^2+bp^2+(a+b)pq]x")
![-2[a^2q+b^2p-2(ab-pq)(p+q)]y+(aq+bp)^2=0.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6fce48ad426d4433ceff7c5c38579871.png "-2[a^2q+b^2p-2(ab-pq)(p+q)]y+(aq+bp)^2=0.")
η εφαπτόμενη στο 
(και εικονιζόμενη στο συνημμένο) έλλειψη είναι, για 
η
, η οποία είναι η μία από 
, ( η άλλη είναι η : 
) Θανάση ... με τρόμαξες, έθεσαKARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 26, 2024 10:14 am 'Αριστα.pngΓιώργο χρόνια πολλά ! Ευχαριστώ για την αναλυτική παρουσίαση της γενικής λύσης .
Απλά συμπληρώνω ότι για το πρώτο ερώτημα , έχουμε την προφανή λύση
τις δύο λύσεις της εξίσωσης :
στην γενική δευτεροβάθμια παραπάνω (#2) ... και δεν έβγαλα τα αποτελέσματα που παραθέτεις: ευτυχώς αυτό δεν οφείλεται σε κάποιο λάθος μου στην γενική δευτεροβάθμια, ούτε βέβαια σε δικό σου λάθος, αλλά απλά και μόνον στο γεγονός ότι εργάστηκα με 
αντί του αρχικού 
που πρότεινες εξ αρχής (#1) 
η γενική δευτεροβάθμια -- που προέρχεται από την γενική εξίσωση έλλειψης για -- γίνεται, για 
που αναμενόμενα δίνει τις δικές σου λύσεις και 
κανένα πρόβλημα!]
Καλημέρα.KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 01, 2024 11:05 am Δίνονται τα σημεία
β) Τώρα τα
τμήμα 
. To 
θα κινείται σε κύκλο 
και διερχόμενο από τα σημεία 
, όπου 
είναι το συμμετρικό του 
αναζητούμε 
, αν βέβαια κατάλαβα καλά το ερώτημα αυτό, της ευθείας ισχύει 
γίνονται τυχόντα , το 
γίνεται 
, αλλά φυσικά 
, για να έχουμε πιθανότητα να έχει λύση το πρόβλημα .Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες
