Ίσες και κάθετες

KARKAR · #1

: Ίσες και κάθετες.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Σημείο

απέχει από το κέντρο του κύκλου (O, r)

, απόσταση OS=3r

. Φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα

και τέμνουσα SAB

. Η κάθετη από το

προς την

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

.

Πως πρέπει να αχθεί η SAB

, ώστε οι χορδές AB , PT

να είναι ίσες ;

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 23, 2025 1:01 pm Σημείο απέχει από το κέντρο του κύκλου , απόσταση . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα και τέμνουσα . Η κάθετη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Πως πρέπει να αχθεί η , ώστε οι χορδές να είναι ίσες ;

Θεωρούμε το κάτω ημικύκλιο με διάμετρο το

εκείνο που να έχει δύο σημεία τομής με τον δοθέντα κύκλο.

Έστω

το σημείο τομής του ημικυκλίου αυτού με την μεσοκάθετη του PS.

Αν

είναι το σημείο τομής του ημικυκλίου μας με την ευθεία

,

τότε η ευθεία

τέμνει τον αρχικό κύκλο στα σημεία A, B

και η τομή της

με τον δοθέντα κύκλο δίνει το σημείο

Έτσι εξασφαλίζουμε τα ίσα αποστήματα ...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 23, 2025 1:01 pm Ίσες και κάθετες.pngΣημείο απέχει από το κέντρο του κύκλου , απόσταση . Φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα και τέμνουσα . Η κάθετη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Πως πρέπει να αχθεί η , ώστε οι χορδές να είναι ίσες ;

Κατασκευάζουμε το τετράγωνο POAK

.Η

τέμνει τον κύκλο (O,r)

στα ζητούμενα σημεία A,B

Πράγματι ,τότε $\angle PTA= \angle BAT=45^0$ άρα PBTA

ισοσκελές τραπέζιο ,συνεπώς PT=AB

(Επειδή $SP^2=8r^2 \Rightarrow SP=2r \sqrt{2} ,tan \angle SAK= \dfrac{SK}{KA}= \dfrac{r(2 \sqrt{2} -1)}{r}>1 \Rightarrow \angle SAK>45^0$ άρα $\angle PAB$ αμβλεία)

: Ίσες και κάθετες.png (31.29 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές

#4

Το

επιλέγεται έτσι ώστε $PA=\dfrac{PS}{2}=r\sqrt 2.$

: Ίσες και κάθετες.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Απόδειξη: Λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου TAPB

κι επειδή $AB\bot PT,$ θα είναι $P\widehat BA=45^o,$ κλπ.

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 23, 2025 1:01 pm Ίσες και κάθετες.pngΣημείο απέχει από το κέντρο του κύκλου , απόσταση . Φέρω το εφαπτόμενο

τμήμα και τέμνουσα . Η κάθετη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο .

Πως πρέπει να αχθεί η , ώστε οι χορδές να είναι ίσες ;

$OS^{2}=OP^{2}+PS^{2}\Rightarrow PS^{2}=8r^{2}$
Το τετράπλευρο ATBP

είναι ισοσκελές τραπέζιο ,γιατί

, $\hat{TPA}=\hat{ABT}=\theta ,\hat{TOA}=2\theta ,\hat{BOA}=\hat{POT}=\omega , BT=AP,PN=NB,AN=NT,\hat{BAT}=\hat{PTA}=45^{0}=\hat{BPT}=\hat{PBA}=\hat{APS}$

και απο νομο συνημιτόνων στο τρίγωνο $APS,AS^{2}=2r^{2}(5-2\sqrt{2})$

Ίσες και κάθετες

Ίσες και κάθετες

Re: Ίσες και κάθετες

Re: Ίσες και κάθετες

Re: Ίσες και κάθετες

Re: Ίσες και κάθετες

Μέλη σε σύνδεση