Αντίθετες ρίζες

[KARKAR]

Να βρεθεί ο ( μοναδικός ; ) θετικός ακέραιος , για τον οποίο η εξίσωση :

, έχει δύο ρίζες αντίθετες .

[Mihalis_Lambrou]

Να βρεθεί ο ( μοναδικός ; ) θετικός ακέραιος , για τον οποίο η εξίσωση :

, έχει δύο ρίζες αντίθετες .

.
'Όπως το βλέπω, συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο ως προς την μοναδικότητα του . Συγκεκριμένα (βλέπε παρακάτω) για η εξίσωση έχει (ακριβώς) δύο ρίζες οι οποίες, επιπλέον, είναι αντίθετες.

Για παράδειγμα αν τότε



και για την αντίθετη τιμή είναι

, δηλαδή ίσο με το προηγούμενο.

Με άλλα λόγια, για η εξίσωση



έχει ρίζες και μόνον αυτές.

Μία εικόνα χίλιες λέξεις. Στη εικόνα βλέπουμε τα γραφήματα των και όπου , από όπου διακρίνει κανείς για ποια είναι . Στα παραπάνω πρέπει να προσθέσουμε την τιμή των ριζών όπου .

[KARKAR]

Είναι φανερό ότι για , η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες . Μάλιστα για , αυτές είναι ετερόσημες .

Αν λοιπόν είναι οι δύο ρίζες , μπορούμε να απαντήσουμε στα εξής επιπλέον ερωτήματα :

Για ποιο οι δύο ρίζες διαφέρουν κατά και για ποιο , προκύπτει : ;

[Mihalis_Lambrou]

Είναι φανερό ότι για , η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες . Μάλιστα για , αυτές είναι ετερόσημες .

Αν λοιπόν είναι οι δύο ρίζες , μπορούμε να απαντήσουμε στα εξής επιπλέον ερωτήματα :

Για ποιο οι δύο ρίζες διαφέρουν κατά και για ποιο , προκύπτει : ;

Ακόμα πιο καλά, μπορούμε να βρούμε ακριβώς τις ρίζες.

Ως υπόδειξη (φανερό άλλωστε από το γράφημα) ο εκάστοτε τύπος είναι διαφορετικός για α) , β) και γ) . Για την τελευταία έχω ήδη δείξει ότι οι ρίζες είναι . Αφού βρούμε τις ρίζες (είναι πρωτοβάθμιοι τύποι, δηλαδή οι απλούστεροι δυνατοί) τα παραπάνω νέα ερωτήματα είναι άμεσα. Θα επανέλθω, αν χρειαστεί.