Ακρότατα παραμετρικά

KARKAR · #1

$\bigstar$ Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{(x-k)(kx-1)}{x} , k>0$

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 31, 2025 6:19 am $\bigstar$ Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{(x-k)(kx-1)}{x} , k>0$

Πεδίο ορισμού $\mathbb R - \{0\}$ . Είναι $f(x)=k\left (x+\dfrac {1}{x}\right ) -(k^2+1)$ , οπότε η μελέτη της

ανάγεται στην (πολυμελετημένη) $g(x)=x+\dfrac {1}{x}$ .

Ας την δούμε άλλη μία φορά αλλά χωρίς χρήση παραγώγων που είναι ο συνηθισμένος τρόπος.

Επειδή η

είναι περιττή, g(-x)=-g(x)

, αρκεί να την μελετήσουμε για x>0

. Θα δούμε ότι στο $(0, \infty)$ είναι α) γνήσια φθίνουσα στο (0,1]

, β) γνήσια αύξουσα στο $[1, \, \infty)$ και γ) έχει ολικό ελάχιστο στο x=1

. Πράγματι,

α) για x<y<1

έχουμε $g(x)-g(y) = x+\dfrac {1}{x} -y-\dfrac {1}{y}=\dfrac {1}{xy} (x-y)(xy-1)$ . αλλά xy<1

,

, οπότε

, που δείχνει ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο (0,1]

.

β) για 1<x<y

, όμοια

, που δείχνει ότι είναι γνήσια αύξουσα στο $[1, \, \infty)$

γ) Από τα α), β) έπεται ότι η

περιορισμένη στο $(0, \infty)$ έχει ολικό ελάχιστο στο x=1

, με

. Άλλος τρόπος να δούμε το ίδιο είναι από ΑΜ-ΓΜ, οπότε $x+\dfrac {1}{x}\ge 2\sqrt {x\cdot \dfrac {1}{x}}=2$ , και λοιπά.

Συνοψίζοντας, πίσω στην

, είναι α) γνήσια φθίνουσα στο (0,1]

, β) γνήσια αύξουσα στο $[1, \, \infty)$ και γ) έχει ελάχιστο στο x=1

με

. Επίσης είναι α΄) γνήσια αύξουσα στο $(-\infty , -1]$ , β΄) γνήσια φθίνουσα στο $[-1, \, 0)$ και γ΄) έχει τοπικό μέγιστο στο x=-1

με

.

.

KARKAR · #3

Άψογα ! Θα μπορούσε βέβαια να παρατηρήσει κανείς , ότι το : " για x>0

, ισχύει : $x+\dfrac{1}{x}\geq 2$ " ,

είναι βασική εφαρμογή του σχολικού βιβλίου της Α' , οπότε μπορεί να χρησιμοποιείται χωρίς απόδειξη .

Ακρότατα παραμετρικά

Ακρότατα παραμετρικά

Re: Ακρότατα παραμετρικά

Re: Ακρότατα παραμετρικά

Μέλη σε σύνδεση