Υποβάθμιση Σαββατοκύριακου 2

KARKAR · #1

Λύστε ως προς - (x,y)

- το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+\sqrt{xy} & =k \\ x^2+y^2+xy& =6k \\ \end{matrix}\right.$ , k>y>x>0

Αν μπορείτε να βρείτε λύση με τους : k , x , y ,

ακεραίους , τόσο το καλύτερο .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 01, 2025 1:21 pm Λύστε ως προς - - το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+\sqrt{xy} & =k \\ x^2+y^2+xy& =6k \\ \end{matrix}\right.$ ,

Αν μπορείτε να βρείτε λύση με τους : ακεραίους , τόσο το καλύτερο .

Μία σκέψη μόνο.

Θέτουμε $\sqrt x = a \geqslant 0,\;\,\sqrt y = b \geqslant 0.$

Έτσι καταλήγουμε στο σύστημα
$\sum {:\left\{ {\left( {a \ne b} \right) \wedge \left( {{a^3} - {b^3} = k\left( {a - b} \right)} \right) \wedge \left( {{a^6} - {b^6} = 6k\left( {{a^2} - {b^2}} \right)} \right)} \right\}} .$

Με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε:
${a^3} + {b^3} = 6\left( {a + b} \right)$ ή ${a^2} - ab + {b^2} = 6.$

Επανερχόμαστε τώρα στην «κανονικότητα» για να επιλύσουμε τελικά το σύστημα;

$\sum {:\left\{ {\left( {x + y + \sqrt {xy} = k} \right) \wedge \left( {x + y - \sqrt {xy} = 6} \right)} \right\}} ...$ όπου με πρόσθεση κατά μέλη

βρίσκουμε το άθροισμα και με αφαίρεση κατά μέλη και μετά με ύψωση στην δευτέρα βρίσκουμε το γινόμενο ...

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 01, 2025 1:21 pm Λύστε ως προς - - το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+\sqrt{xy} & =k \\ x^2+y^2+xy& =6k \\ \end{matrix}\right.$ ,

Αν μπορείτε να βρείτε λύση με τους : ακεραίους , τόσο το καλύτερο .

Παραλλαγή της λύσης του Σωτήρη: Από την ταυτότητα $x^2+y^2+xy=(x+y+\sqrt{xy})(x+y-\sqrt{xy})$ παίρνουμε

$6k=k(x+y-\sqrt{xy})$ από όπου $x+y-\sqrt{xy}=6$ . Αντίστροφαμ η πρώτη και αυτή που μόλις βρήκαμε, δίνει την δεύτερη.

Οπότε ισοδύναμα λύνουμε τις $x+y+\sqrt{xy} =k, \, x+y-\sqrt{xy} =6$ . Ισοδύναμα $x+y = \dfrac {1}{2} (k+6), \, \sqrt {xy} = \dfrac {1}{2} (k-6)$ .

Εργαζόμενοι κατά τα γνωστά θα βρούμε

$x= \dfrac {1}{4} (k+6) + \dfrac {1}{4} \sqrt {3(k-2)(18-k)}, \, y= \dfrac {1}{4} (k+6) - \dfrac {1}{4} \sqrt {3(k-2)(18-k)}$ ή ανάποδα.

Aν θέλουμε παράδειγμα ακέραιων k,x,y

τότε με λίγες δοκιμές με οδηγό την υπόρριζη ποσότητα εντοπίζουμε την k=6

που δίνει

ή ανάποδα. Επίσης την k=14

με

ή ανάποδα.

Υποβάθμιση Σαββατοκύριακου 2

Υποβάθμιση Σαββατοκύριακου 2

Re: Υποβάθμιση Σαββατοκύριακου 2

Re: Υποβάθμιση Σαββατοκύριακου 2

Μέλη σε σύνδεση