Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{2k+2}{2k+1} \right)^2}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μαρ 21, 2025 10:13 pm Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{2k+2}{2k+1} \right)^2}$

Τόλη, κάτι λείπει από την εκφώνηση, αφού στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ερώτηση. Μάλλον θέλεις να πεις κάτι σαν "να δειχθεί ότι $\ell$ ίσον τόσο". Και μαντεύω ότι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Μαρ 21, 2025 10:52 pm
Τόλη, κάτι λείπει από την εκφώνηση, αφού στην πραγματικότητα δεν υπάρχει ερώτηση. Μάλλον θέλεις να πεις κάτι σαν "να δειχθεί ότι $\ell$ ίσον τόσο".

Μιχάλη,

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μαρ 21, 2025 10:13 pm Να υπολογιστεί το όριο

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{2k+2}{2k+1} \right)^2}$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μαρ 21, 2025 10:13 pm Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{2k+2}{2k+1} \right)^2}$

Για να ακριβολογήσω θα απαντήσω στην σωστή εκδοχή της εκφώνησης, όπως υπάρχει στο ποστ #3, δηλαδή να "βρεθεί" το όριο. Η απάντηση είναι $\pi.$

Πρόκειται για το γνωστό γινόμενο Wallis που υπάρχει σε όλες τις Αναλύσεις και τις Ιστορίες των Μαθηματικών. Υπάρχουν πολλοί τρόποι εύρεσή του. Πρώτα απ' όλα ο αρχικός του Wallis (1616-1703) με αναδρομικό τύπο του $I_n=\int _0^{\pi /2}sin ^n xdx$ δημοσιευμένος το 1656 ή με χρήση του ασυμπτωτικού τύπου του Stirling για το

. Βλέπε εδώ.

Ως γνωστόν $\boxed {\dfrac {\pi }{2} = \left ( \dfrac {2}{1} \cdot \dfrac {2}{3} \right )\cdot \left ( \dfrac {4}{3} \cdot \dfrac {4}{5} \right )\cdot \left ( \dfrac {6}{5} \cdot \dfrac {6}{7} \right )\cdot \left ( \dfrac {8}{7} \cdot \dfrac {8}{9} \right )\cdot ...}$

Το ίδιο με μερικό γινόμενο γράφεται

$\displaystyle{ \left ( \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{(2k+2)^2}{(2k+1)^2} \right) \cdot \dfrac {1}{2n+1} \to \dfrac {\pi }{2} }$

Οπότε το παραπάνω ζητούμενο όριο ισούται

$\displaystyle{ \left ( \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{(2k+2)^2}{(2k+1)^2} \right) \cdot \dfrac {1}{2n+1}\cdot \dfrac {2n+1}{n} \to \dfrac {\pi}{2} \cdot 2 = \pi}$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση