Ο παλαιοντολόγος

KARKAR · #1

: Ο παλαιοντολόγος.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Στην γωνία του σχήματος , έχουμε σχεδιάσει έναν κύκλο (K , r)

, ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές της γωνίας .

Καλείσθε να σχεδιάσετε μεγαλύτερο κύκλο (L , R)

, ο οποίος επίσης να εφάπτεται στις πλευρές της γωνίας και

στον σχεδιασμένο κύκλο . Στη συνέχεια υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 17, 2025 9:55 am Στην γωνία του σχήματος , έχουμε σχεδιάσει έναν κύκλο , ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές της γωνίας .

Καλείσθε να σχεδιάσετε μεγαλύτερο κύκλο , ο οποίος επίσης να εφάπτεται στις πλευρές της γωνίας και

στον σχεδιασμένο κύκλο . Στη συνέχεια υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ .

.
Aν $\angle KON=\theta$ , τότε για την κλίση της $y = \dfrac {4}{3}x$ έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {4}{3}= \tan 2\theta = \dfrac {2\tan \theta}{1-tan ^2 \theta}}$ .

Λύνοντας την δευτεροβάθμια που προκύπτει έχουμε $\tan \theta = \dfrac {1}{2}$ . Έπεται ότι ON = 2r

και άρα
$OK = \sqrt {r^2+(2r)^2}= r\sqrt 5$ .

Από τα όμοια τρίγωνα OKN, KLM

έχουμε $\sqrt 5 = \dfrac {OK}{KN}= \dfrac {KL}{LM} = \dfrac{R+r}{R-r}$ . Έπεται απλά ότι $R= \dfrac {3+\sqrt 5}{2}r$ , ή αλλιώς ο ζητούμενος λόγος είναι

$\boxed {\dfrac {R}{r}= \dfrac {3+\sqrt 5}{2}}$

H κατασκευή του ζητούμενου κύκλου είναι άμεση. Πρώτα απ' όλα (και χωρίς τα παραπάνω) πρόκειται για το πρόβλημα του Απολλωνίου για δύο δοθείσες ευθείας και έναν κύκλο. Αλλιώς, από τα παραπάνω, δεν έχουμε παρά να πάμε απόσταση R+r

πέρα από το

επί της διχοτόμου

για να βρούμε το κέντρο

του ζητούμενου κύκλου. Και λοιπά.
.

KARKAR · #3

Ο παρατηρητικός αναγνώστης θα διαβάσει : $\dfrac{R}{r}=\phi+1$

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 17, 2025 7:40 pm Ο παρατηρητικός αναγνώστης θα διαβάσει : $\dfrac{R}{r}=\phi+1$

.
Νομίζω ότι δεν έχει νόημα να εντυπωσιαζόμαστε από τέτοιες "αριθμολογικές συμπτώσεις" δεδομένου ότι μπορούμε στην θέση του $\phi +1$ να έχουμε ολόκληρο φάσμα (διάστημα) τιμών. Ουσιαστικά μπορούμε να έχουμε "ότι θέλουμε".

Συγκεκριμένα, η λύση που έγραψα δίνει $\dfrac {R}{r} = \dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta}$ . Οπότε αν θέλουμε να έχουμε $\dfrac {R}{r} =A$ για κάποιον προσφιλή μας αριθμό

, που μας εντυπωσιάζει, δεν έχουμε παρά να λάβουμε $\sin \theta = \dfrac {A-1 }{A+1}$ .

Νομίζω ότι στα Μαθηματικά πρέπει να μας εντυπωσιάζουν βαθύτερα θέματα από το παραπάνω.

Ο παλαιοντολόγος

Ο παλαιοντολόγος

Re: Ο παλαιοντολόγος

Re: Ο παλαιοντολόγος

Re: Ο παλαιοντολόγος

Μέλη σε σύνδεση