Συνευθειακότητα και μήκος

KARKAR · #1

: Συνευθειακότητα και μήκος.png (12.36 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Στην μεσοκάθετο τμήματος

, θεωρούμε σημείο

και γράφουμε κύκλο (O,r) , r<OM

. Φέρουμε

το "κάτω" εφαπτόμενο τμήμα

και το "άνω"

. α) Δείξτε ότι τα σημεία M , S , T

είναι συνευθειακά .

β) Αν : OM=3 , r=2

, για ποιο μήκος του τμήματος

, προκύπτει : MT=AS

;

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 25, 2025 10:26 am Συνευθειακότητα και μήκος.pngΣτην μεσοκάθετο τμήματος , θεωρούμε σημείο και γράφουμε κύκλο . Φέρουμε

το "κάτω" εφαπτόμενο τμήμα και το "άνω" . α) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

β) Αν : , για ποιο μήκος του τμήματος , προκύπτει : ;

α) Από την προφανή ισότητα των τριγώνων AOS, BOT

είναι $A\widehat OS= B\widehat OT.$ Αλλά τα AOSM,

είναι εγγράψιμα, οπότε $B\widehat MS=A\widehat OS= B\widehat OT=B\widehat MT,$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

: Συνευθειακότητα και μήκος.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές

β) Θέτω

και είναι $\displaystyle OB = \sqrt {{x^2} + 9} ,AS = BT = MT = \sqrt {{x^2} + 5} .$ Θεώρημα

Πτολεμαίου στο BTOM,

$\displaystyle 2x + 3\sqrt {{x^2} + 5} = \sqrt {({x^2} + 5)({x^2} + 9)} \Leftrightarrow$ $\boxed{AB = 2x = \sqrt {14 + 6\sqrt {41} } }$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Απρ 25, 2025 10:26 am Συνευθειακότητα και μήκος.pngΣτην μεσοκάθετο τμήματος , θεωρούμε σημείο και γράφουμε κύκλο . Φέρουμε

το "κάτω" εφαπτόμενο τμήμα και το "άνω" . α) Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

β) Αν : , για ποιο μήκος του τμήματος , προκύπτει : ;

α)Αν φέρω και το άλλο εφαπτόμενο τμήμα , $A{T_1}$ θα είναι : $A{T_1} = BT = AS$ . Ας είναι

το σημείο τομής των , $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB$ .

Το τετράπλευρο OTPS

θα είναι εγγράψιμο και χαρταετός . οι $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP$ είναι μεσοκάθετοι στις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST$ .

: Συνευθειακότητα και μήκος_1.png (32.17 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Επειδή , $\widehat {BOT} = \widehat {SOA} \Leftrightarrow \widehat {BOT} + \widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {SOA} + \widehat {\omega _{}^{}}$ , συνεπώς τα ισοσκελή τρίγωνα , $OST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAB$ είναι όμοια .

Έτσι , ${\phi _1} = {\phi _2} = {\theta _1} = {\theta _2}$ και αφού ${a_1} + {\theta _1} = 180^\circ \Rightarrow {a_1} + {\phi _1} = 180^\circ$ και άρα τα σημεία , M,S,T

είναι συνευθειακά .

β)
Από τα $\vartriangle SOA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\vartriangle MOA\,,\,\,\,A{S^2} = O{A^2} + O{S^2} \Rightarrow {y^2} = {x^2} + 9 - 4 = {x^2} + 5\,\,\,\left( 1 \right)$
.

: Συνευθειακότητα και μήκος_2.png (22.55 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

.
Από το $\vartriangle MBO$ έχω : $\cos a = \dfrac{3}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}$ οπότε το Θ. Συνημίτονου στο TMB

δίδει: ${x^2} = {y^2} + {y^2} - 2{y^2} \cdot \cos a \Rightarrow {x^2} = 2{y^2}\left( {1 - \dfrac{3}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \right)$

που λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει δεκτή ρίζα , $\boxed{x = \sqrt {\dfrac{{7 + 3\sqrt {41} }}{2}} }$

Συνευθειακότητα και μήκος

Συνευθειακότητα και μήκος

Re: Συνευθειακότητα και μήκος

Re: Συνευθειακότητα και μήκος

Μέλη σε σύνδεση