Πολλά υπόλοιπα

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι όταν διαιρούνται με το , το , το και το , δίνουν αντίστοιχα
υπόλοιπα .

[Mihalis_Lambrou]

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι όταν διαιρούνται με το , το , το και το , δίνουν αντίστοιχα
υπόλοιπα .

Καλό.

Ας βρούμε πρώτα την μικρότερη λύση:

Αν προσθέσουμε στον αριθμό τότε γίνεται

α) πολλαπλάσιο του 7 (διότι άφηνε υπόλοιπο αλλά πολλαπλάσιο του ).

β) Για αντίστοιχο λόγο γίνεται πολλαπλάσιο του (διότι άφηνε υπόλοιπο αλλά πολλαπλάσιο του .

β) Και επίσης γίνεται πολλαπλάσιο του (διότι άφηνε υπόλοιπο αλλά πολλαπλάσιο του .

β) Και γίνεται πολλαπλάσιο του (διότι άφηνε υπόλοιπο αλλά πολλαπλάσιο του .

Συμπέρασμα, ο είναι πολλαπλάσιο των . Η μικρότερη δυνατή τιμή αυτού είναι E.K.Π.. Άρα



Αν θέλουμε όλες τις λύσεις είναι, με βάση το που βρήκαμε, οι

Σχόλιο (αλλά για πιο μεγάλη τάξη): Ουσιαστικά η άσκηση είναι εφαρμογή του Κινεζικού Θεωρήματος υπολοίπων. Βλέπε εδώ. Η στάνταρ απόδειξη του Θεωρήματος μας δίνει και την μέθοδο επίλυσης των ισοτιμιών.
Το το βρήκα με σάρωση των (μικρών) υποψήφιων τιμών που μπορεί να έχει ο ζητούμενος αριθμός.

Edit. Διόρθωσα λογιστικό μου σφάλμα. Στην πρώτη γραμμή είχα από παρανάγνωση υπόλοιπο αντί στην διαίρεση με το

[add2math]

Aπό την πρώτη υπόθεση έχω
Από την δεύτερη υπόθεση έχω , οπότε
Από την τρίτη υπόθεση έχω , οπότε
Τέλος έχω , οπότε που επαληθεύει και τις 4 υποθέσεις.