Σκάλα , σκακιέρα , σκάσιμο

KARKAR · #1

Πριν πολλά χρόνια αναρτήθηκε η άσκηση αυτή , που ασφαλώς θα πρέπει πλέον να ξεκλειδωθεί ...

: Παλιά σκάλα.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 2098 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα FDC

και

, παίρνουμε : $\dfrac{\sqrt{h^2-2h+2}}{h-1}=\dfrac{4}{h} ,1< h <4$ .

Η εξίσωση αυτή λύνεται με ύλη του παρόντος φακέλου . Λύστε την !

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 15, 2025 10:56 am Πριν πολλά χρόνια αναρτήθηκε η άσκηση αυτή , που ασφαλώς θα πρέπει πλέον να ξεκλειδωθεί ...Παλιά σκάλα.png
Από τα όμοια τρίγωνα και , παίρνουμε : $\dfrac{\sqrt{h^2-2h+2}}{h-1}=\dfrac{4}{h} ,1< h <4$ .

Η εξίσωση αυτή λύνεται με ύλη του παρόντος φακέλου . Λύστε την !

Θέτοντας

, η δοθείσα γράφεται $\dfrac{\sqrt{v^2+1}}{v}=\dfrac{4}{v+1}$ . Τετραγωνίζοντας δίνει (v^2+1)(v+1)^2=16v^2

, και άρα

.

Πρόκειται για τύπο εξίσωσης που στα παλιά καλά σχολικά βιβλία ονομαζόταν "αντίστροφη". Ο τρόπος λύσης, που μάθαιναν τότε όλοι οι μαθητές είναι: Διαιρούμε με το v^2

οπότε

$v^2+2v-14 + \dfrac {2}{v} + \dfrac {1}{v^2}$ , ή αλλιώς $\displaystyle{\left( v +\dfrac {1}{v} \right) ^ 2+2\left( v +\dfrac {1}{v} \right)-16=0}$

Είναι της μορφής t^2+2t-16=0

, οπότε $t=-1+\sqrt {17}$ (κρατάμε το θετικό). Τελικά $v +\dfrac {1}{v}=-1+\sqrt {17}$ . οπότε ως δευτεροβάθμια ως προς

, δίνει

$v=\dfrac {1}{2} \sqrt {17} - \dfrac {1}{2} \pm \dfrac {1}{2}\sqrt {14-2 \sqrt {17} }$ και άρα $\boxed { h=\dfrac {1}{2} \sqrt {17} + \dfrac {1}{2} \pm \dfrac {1}{2}\sqrt {14-2 \sqrt {17} }}$

Το κομπιουτεράκι δίνει $h\approx 1,36$ και $h \approx 3,76$ .

KARKAR · #3

Ακριβώς έτσι !

Συμπληρώνω απλά ότι παρόμοια εξίσωση ( αντίστροφη) υπάρχει και στο εν χρήσει σχολικό βιβλίο .

Π.χ η : x^4+x^3-4x^2+x+1=0

, στις Γενικές Ασκήσεις ( Γ' Ομάδας ) , σελ. 154

.

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Μάιος 16, 2025 8:48 am Ακριβώς έτσι !

Συμπληρώνω απλά ότι παρόμοια εξίσωση ( αντίστροφη) υπάρχει και στο εν χρήσει σχολικό βιβλίο .

Π.χ η : , στις Γενικές Ασκήσεις ( Γ' Ομάδας ) , σελ. .

Σωστά, αλλά η συγκεκριμένη είναι πολύ απλή που λύνεται χωρίς γνώση αντίστροφων εξισώσεων. Συγκεκριμένα, παρατηρεί κανείς ότι η x=1

είναι (προφανής) ρίζα. Και μάλιστα, αν το συνεχίσεις διαπιστώνεις ότι η x=1

είναι διπλή ρίζα. Κοντολογίς

x^4+x^3-4x^2+x+1=(x-1)^2(x^2+3x+1)

Σκάλα , σκακιέρα , σκάσιμο

Σκάλα , σκακιέρα , σκάσιμο

Re: Σκάλα , σκακιέρα , σκάσιμο

Re: Σκάλα , σκακιέρα , σκάσιμο

Re: Σκάλα , σκακιέρα , σκάσιμο

Μέλη σε σύνδεση