Όριο της ρίζας εξίσωσης.

#1

Για $a \ge 2$ έστω x_a

η θετική ρίζα της εξίσωσης x^a-x-5=0

.

Δείξτε ότι $\displaystyle{ \lim _{a\rightarrow +\infty } x_a=1}$

(Μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό, χωρίς απόδειξη, ότι υπάρχει μία και μόνο μία θετική ρίζα.)

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας.

#2

Επαναφορά.

ksofsa · #3

Καλημέρα.

Για τη συνεχή συνάρτηση f(x)=x^a-x-5

, ισχύει ότι:

f(1)<0

$\lim_{x \to \infty } f(x)=+\infty$

Οπότε, για τη θετική ρίζα

της εξίσωσης, ισχύει p > 1

.

Ακόμη, ισχύει $p^a-p^{a/2}-5< p^a-p-5=0\Rightarrow (p^{a/2}-p_{1})(p^{a/2}-p_{2})<0$ ,

όπου $p_{1}=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2},p_{2}=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}$ οι ρίζες της εξίσωσης x^2-x-5=0

.

Άρα, κι επειδή p>1

, είναι:

$1< p^{a/2}<\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}$

δηλαδή

$1< p<\sqrt[a]{(\dfrac{1+\sqrt{21}}{2})^2}$ .

Παίρνοντας όριο στο άπειρο, έχουμε ότι

$\lim_{a \to +\infty } p_{a}=1$

Διευκρίνιση: Το $p_{a}$ είναι το $x_{a}$ της εκφώνησης.

ksofsa · #4

Άλλη λύση (με χρήση του $\lim_{x \to +\infty } (1+\dfrac{3}{x})^x=e^3$ ):

Η f(x)=x^a-x-5

συνεχής με

f(1)< 0

$f(1+\dfrac{3}{a})=(1+\dfrac{3}{a})^a-(1+\dfrac{3}{a})-5=(1+\dfrac{3}{a})^a-\dfrac{3}{a}-6\to e^3-6(>0)$

Οπότε για αρκετά μεγάλο

, είναι

και $f(1+\dfrac{3}{a})> 0$ , οπότε

$1< x_{a}<1+\dfrac{3}{a}$ ,

απ' όπου $\lim_{a \to+\infty } x_{a}=1$ .

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μάιος 22, 2025 9:45 pm Για $a \ge 2$ έστω η θετική ρίζα της εξίσωσης .

Δείξτε ότι $\displaystyle{ \lim _{a\rightarrow +\infty } x_a=1}$

(Μπορείτε να θεωρήσετε γνωστό, χωρίς απόδειξη, ότι υπάρχει μία και μόνο μία θετική ρίζα.)

H λύση που είχα κατά νου όταν κατασκεύαζα την άσκηση είναι μικρή παραλλαγή της δεύτερης λύσης του Κώστα, αλλά χρησιμοποιώ ένα λίγο απλούστερο εργαλείο στην θέση του $\lim \left (1+ \dfrac {3}{a} \right ) ^a=e^3$ . Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώ την ανισότητα $\left (1+ t \right ) ^a\ge 1+at$ .

Έχουμε για την f_a(x) =x^a-x-5

, για κάθε σταθερό $a \ge 3$ ,

f_a(1)= -5<0

και

$f_a \left (1+ \dfrac {10}{a} \right ) = \left (1+ \dfrac {10}{a} \right )^a -\left (1+ \dfrac {10}{a} \right )-5\ge (1+10) - 6 - \dfrac {10}{3} >0$ .

Οπότε για την ρίζα x_a

έχουμε $1\le x_a \le 1+ \dfrac {10}{a}$ . Άρα από ισοσυγκλίνουσες, $x_a\rightarrow 1$ .

Όριο της ρίζας εξίσωσης.

Όριο της ρίζας εξίσωσης.

Re: Όριο της ρίζας εξίσωσης.

Re: Όριο της ρίζας εξίσωσης.

Re: Όριο της ρίζας εξίσωσης.

Re: Όριο της ρίζας εξίσωσης.

Μέλη σε σύνδεση