Οι κυρίες με τις γούνες

[Mihalis_Lambrou]

20 κυρίες πήγαν να παρακολουθήσουν μία παράσταση στην Όπερα. Η κάθε μία φορούσε την γούνα της, που ήταν άλλωστε αρκετά ακριβή. Κατά την διάρκεια της παράστασης άφησαν βέβαια τις γούνες τους στο βεστιάριο της Όπερας, όπως γίνεται πάντα σε αυτές τις περιπτώσεις. Όταν τέλειωσε η παράσταση, η κοπέλα που εργαζόταν στο βεστιάριο επέστρεφε στις 20 κυρίες τις γούνες στα κουτουρού, όχι κατ' ανάγκη στην σωστή ιδιοκτήτρια. Δυστυχώς οι κυρίες, αν λάμβαναν γούνα ίσης ή μεγαλύτερης αξίας από τη δική τους, έκαναν την πάπια και έφευγαν από την Όπερα με την γούνα που τους δόθηκε. Όσες κυρίες δεν είχαν να λάβουν γούνα ίσης ή μεγαλύτερης αξίας από τη δική τους, έκαναν μήνυση κατά του Διευθυντή της Όπερας. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός μηνύσεων που μπορεί να έγιναν από τις 20 κυρίες;

[fmak65]

Καλησπέρα, αν όλες οι γούνες ήταν διαφορετικής αξίας, τότε αυτή που είχε την φθηνότερη, αν πήρε την ακριβότερη, και η κάθε μία από τις υπόλοιπες την γούνα με ακριβώς την χαμηλότερη αξία από την δική της, τότε θα είχαμε 19 μηνύσεις.

[Mihalis_Lambrou]

Σωστά αλλά τώρα θα την δυσκολεύψουμε. Η εκδοχή που έδωσα ήταν απλή, για προθέρμανση. Η νέα και δυσκολότερη εκδοχή είναι η εξής:

Όπως πριν, όταν πάει μια κυρία στο βεστιάριο για να πάρει τη γούνα της, η κοπέλα της δίνει μία στην τύχη. Αν η γούνα αυτή έχει ίση η μεγαλύτερη αξία από τη δική της, τότε την παίρνει και φεύγει. Εάν η γούνα που της δίνει η κοπέλα έχει μικρότερη αξία από την δική της, τότε δεν την δέχεται και ζητάει μία άλλη. Συνεχίζει να ζητάει άλλη γούνα μέχρι βρεθεί γούνα ίσης ή μεγαλύτερης αξίας από την δική της. Αν δεν βρεθεί τέτοια γούνα, τότε κάνει μήνυση.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός μηνήσεων που μπορεί να γίνουν;

[fmak65]

Είναι ο ίδιος.
Αυτό γίνεται με τον εξής τρόπο.
Παίρνει πρώτα αυτή που έχει την φθηνότερη γούνα την ακριβότερη.
Μετά αυτή που έχει την ακριβότερη βλέπει τις υπόλοιπες και τελευταία την αμέσως φθηνότερη από την δικιά της. Έτσι και παίρνει την αμέσως λιγότερο ακριβή και κάνει μήνυση. Ούτω καθεξής και για τις υπόλοιπες.

[Mihalis_Lambrou]

Είναι ο ίδιος.
Αυτό γίνεται με τον εξής τρόπο.
Παίρνει πρώτα αυτή που έχει την φθηνότερη γούνα την ακριβότερη.
Μετά αυτή που έχει την ακριβότερη βλέπει τις υπόλοιπες και τελευταία την αμέσως φθηνότερη από την δικιά της. Έτσι και παίρνει την αμέσως λιγότερο ακριβή και κάνει μήνυση. Ούτω καθεξής και για τις υπόλοιπες.

Φώτη, δεν είναι σωστή η απάντηση. Το σφάλμα είναι ότι η κυρία με την πιο ακριβή γούνα δεν θα πάρει τίποτα. Το λέει ρητά το πρόβλημα στο σημείο

"Συνεχίζει να ζητάει άλλη γούνα μέχρι βρεθεί γούνα ίσης ή μεγαλύτερης αξίας από την δική της. Αν δεν βρεθεί τέτοια γούνα, τότε κάνει μήνυση.

Δηλαδή φεύγει άπρακτη. Έτσι η κυρία με την 19η πιο ακριβή γούνα θα βρει την δική της γούνα, μετά η κυρία με την 18η πιο ακριβή γούνα θα βρει την δική της, και ούτω καθεξής. Δηλαδή, σε αυτό το σενάριο, θα υποβληθεί μόνο 1 μήνυση, όχι 19.

[αρψ2400]

10
Έστω 1 η φθηνότερη και 20 η ακριβότερη ,σε αύξουσα διάταξη ανάλογα με την αξία τους γούνες.
1η Περίπτωση: Όλες οι γούνες από την 11η εώς την 20η δόθηκαν σε κυρίες.Τότε οι μηνύσεις θα έιναι 10 το πολύ.
2η Περίπτωση:Δεν δόθηκαν όλες οι γούνες από την 11η εώς την 20η σε κυρίες.Τότε υπάρχει τουλάχιστον μία από την 11η εώς την 20η που δεν δόθηκε.Αλλά τότε όλες οι κυρίες που τους ανήκαν οι φθηνότερες γούνες από 1 ελως 10 έφυγαν ικανοποιημένες με κάποια γούνα χωρίς την πρόθεση να κάνουν μήνυση.Διαφορετικά θα τους έκανε η συγκεκριμένη από την 11η εώς την 20η που απέμεινε.Άρα και πάλι οι μηνύσεις θα είναι το πολύ 10.
Το μέγιστο επιτυγχάνεται ,όταν όλες οι κυρίες που είχαν στην κατοχή τους κατά την προσέλευση τους, τις 10 φθηνότερες γούνες , έφυγαν με τις 10 ακριβότερες.Τότε θα έχουν απομείμει οι 10 φθηνότερες γούνες ,που δεν θα ικανοποιούν καμία από τις 10 εναπομείνασες , πιο ακριβοντυμένες κατά την προσέλευση , κυρίες.

[Mihalis_Lambrou]

Σωστά.

Η δική μου λύση είναι στο ίδιο μήκος κύματος. Θα την γράψω κάποια στιγμή αλλά, νομίζω, με πιο κατανοητό τρόπο.

[Mihalis_Lambrou]

20 κυρίες πήγαν να παρακολουθήσουν μία παράσταση στην Όπερα. Η κάθε μία φορούσε την γούνα της, που ήταν άλλωστε αρκετά ακριβή. Κατά την διάρκεια της παράστασης άφησαν βέβαια τις γούνες τους στο βεστιάριο της Όπερας, όπως γίνεται πάντα σε αυτές τις περιπτώσεις. Όταν τέλειωσε η παράσταση, η κοπέλα που εργαζόταν στο βεστιάριο επέστρεφε στις 20 κυρίες τις γούνες στα κουτουρού, όχι κατ' ανάγκη στην σωστή ιδιοκτήτρια. Δυστυχώς οι κυρίες, αν λάμβαναν γούνα ίσης ή μεγαλύτερης αξίας από τη δική τους, έκαναν την πάπια και έφευγαν από την Όπερα με την γούνα που τους δόθηκε. Όσες κυρίες δεν είχαν να λάβουν γούνα ίσης ή μεγαλύτερης αξίας από τη δική τους, έκαναν μήνυση κατά του Διευθυντή της Όπερας. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός μηνύσεων που μπορεί να έγιναν από τις 20 κυρίες;

Ας δούμε λύση. Είναι στο ίδιο μήκος κύματος με την προηγούμενη, αλλά λίγο πιο απλή.

Έστω ότι οι περισσότερες κυρίες έκαναν μήνυση. Θα καταλήξουμε σε άτοπο. Πράγματι, αν κυρίες έκανα μήνυση θα πει ότι κύριες δεν πήραν γούνα, οπότε η γούνα τους είναι στο βεστιάριο. Η αυτές γούνες φυσικά ανήκουν σε κυρίες. Αφού σημαίνει ότι οι κυρίες που έκαναν μηνύσεις με τις κυρίες που η γούνα τους είναι στο βεστιάριο είναι δύο σύνολα που επικαλύπτονται. Άρα υπάρχει κυρία που έκανε μήνυση αλλά η γούνα της είναι στο βεστιάριο. Αυτό είναι άτοπο διότι εάν η γούνα της ήταν βεστιάριο, τότε θα την είχε πάρει (αυτήν ή μία ακριβότερη) οπότε δεν θα έκανε μήνυση. Συμπεραίνουμε ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν ή περισσότερες μηνύσεις αλλά θα δούμε ότι οι μηνύσεις είναι εφικτό σενάριο. Πράγματι, αν οι γούνες κατά αύξουσα σειρά αξίας είναι οι έως , θα μπορούσαν οι κυρίες έως να πάρουν τις γούνες έως . Αλλά τότε οι κυρίες έως μένουν χωρίς γούνα ίσης ή μεγαλύτερη αξίας από την δική τους, οπότε κάνουν μήνυση. Συμπεραίνουμε ότι το μέγιστο πλήθος των μηνύσεων είναι .