Μέγιστο εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Μέγιστο εφαπτομένης.png (18.89 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι :

και το

είναι σημείο της

,τέτοιο

ώστε : TC=3

. Στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ κινείται σημείο

. Βρείτε την μέγιστη τιμή της $\tan\theta$ .

Παράκληση : Μην δώσετε απάντηση χωρίς τελικό αποτέλεσμα , το ενδιαφέρον της άσκησης είναι κυρίως υπολογιστικό .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 26, 2025 8:06 pm Μέγιστο εφαπτομένης.pngΣτο τρίγωνο είναι : και το είναι σημείο της ,τέτοιο

ώστε : . Στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ κινείται σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή της $\tan\theta$ .

Παράκληση : Μην δώσετε απάντηση χωρίς τελικό αποτέλεσμα , το ενδιαφέρον της άσκησης είναι κυρίως υπολογιστικό .

Για να γίνει μέγιστη η εφαπτομένη της γωνίας $\theta$ αρκεί η ίδια η γωνία να γίνει μέγιστη .

Προς τούτο αρκεί να γράψω κύκλο που να διέρχεται από τα $T\,\,,\,\,C$ και να εφάπτεται της ευθείας της διχοτόμου

της γωνίας $\widehat {BAC}$ . Αν και το θέμα είναι κλασική περίπτωση της κατασκευής $\Sigma .\,\,\Sigma .\,\,{\rm E}.$ εδώ μπορούμε κι αλλιώς :
.

: Μέγιστο εφαπτομένης_κατασκευ.png (45.03 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές

.
(Γεωμετρία Γιάννη Ντάνη σελίδα 202

) γράφω τον κύκλο χορδής

που δέχεται γωνία , $180^\circ - \dfrac{A}{2}$ .

Η τομή του κύκλου αυτού με τη διχοτόμο της γωνίας $\widehat {BAC}$ μας δίδει το

. Τον τρόπο αυτό το έχω δει και σε άλλα βιβλία .

Μετά με δύο τρόπους βρήκα , $\tan \theta = \dfrac{{72\sqrt {55} - 5\sqrt {8855} }}{{1159}} \simeq 0,86667069$ . Η τιμή αυτή είναι κοντά στην τιμή $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

Αλλά δεν μου «λέει» κάτι συνταρακτικό .

KARKAR · #3

Κατευθείαν σε υπολογισμούς : Παίρνω $AS=3\sqrt{6}$ . Μετά στο τρίγωνο TSC

μπορούν να υπολογισθούν

όλες οι πλευρές (άρα και η $\tan\theta$ ) . Και αφού μας αρέσουν οι προσεγγίσεις : $\dfrac{e}{\pi}<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<\dfrac{13}{15}<\tan\theta$ .

Μέγιστο εφαπτομένης

Μέγιστο εφαπτομένης

Re: Μέγιστο εφαπτομένης

Re: Μέγιστο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση