Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

KARKAR · #1

: Χρυσό τρίγωνο.png (14.3 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

Με κορυφές την αρχή των αξόνων

, σημείο

της ευθείας y=a

και σημείο

της

,

να κατασκευαστεί το ισόπλευρο τρίγωνο OAB

και να υπολογισθεί το εμβαδόν του .

Εφαρμογή για : y=-1 , y=4

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 01, 2025 12:56 pm Χρυσό τρίγωνο.pngΜε κορυφές την αρχή των αξόνων , σημείο της ευθείας και σημείο της ,

να κατασκευαστεί το ισόπλευρο τρίγωνο και να υπολογισθεί το εμβαδόν του .

Εφαρμογή για : .

Πρόκειται για πάρα πολλή κοινή άσκηση. Υπάρχει σε όλες τις παλιές Γεωμετρίες στο κεφάλαιο της στροφής, και αλλού.

Επίσης έχει εμφανιστεί πολλές φορές στο εδώ φόρουμ, π.χ. εδώ και εδώ και εδώ (ποστ #86) και αλλού.

KARKAR · #3

Πράγματι το θέμα είναι ιδιαίτερα δημοφιλές ( και στον θεματοδότη , αφού είχε συμμετοχή και στις τρεις ασκήσεις

των παραπομπών ) . Ο λόγος που η ανάρτηση επανέρχεται , είναι για να δώσουμε ένα αποτέλεσμα για το εμβαδόν

ως συνάρτηση των a , b

, πράγμα που έχει αλγεβρικό ενδιαφέρον . Λύστε το και θα με θυμηθείτε

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 01, 2025 5:44 pm Πράγματι το θέμα είναι ιδιαίτερα δημοφιλές ( και στον θεματοδότη , αφού είχε συμμετοχή και στις τρεις ασκήσεις

των παραπομπών ) . Ο λόγος που η ανάρτηση επανέρχεται , είναι για να δώσουμε ένα αποτέλεσμα για το εμβαδόν

ως συνάρτηση των , πράγμα που έχει αλγεβρικό ενδιαφέρον . Λύστε το και θα με θυμηθείτε

.
Ίσως χάνω κάτι γιατί στις παραπάνω παραπομπές υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις απλοί, κοινοί, τρόποι αντιμετώπισης. Το να είναι το άλφα νούμερο στην θέση του βήτα, δεν αλλάζει κάτι. Όπως και να είναι, αντιγράφω έναν από τους τρόπους που έγραψα στις παραπομπές:

Από τα τρία ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος, έχουμε (για την γενική περίπτωση)

$\displaystyle{x^2-p^2=b^2, \, x^2-q^2=(b-a)^2, \, x^2-(p+q)^2=a^2}$

Λύνοντας ως προς x,p,q

θα βρούμε $\boxed {x= \dfrac {2\sqrt 3}{3} \sqrt {a^2-ab+b^2}}$

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\dfrac {1}{2} x^2\sin 60$ δηλαδή $\boxed {\dfrac {\sqrt 3}{3} (a^2-ab+b^2)}$

Στο αριθμητικό παράδειγμα, το εμβαδόν είναι $7\sqrt 3$

Το αν έχει αρκετό αλγεβρικό ενδιαφέρον αυτό για να επαναληφθεί τόσες φορές η άσκηση, είναι άλλη ιστορία.
.

KARKAR · #5

: Ισόπλευρο σε παράλληλες.png (53.03 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Από τις κατασκευές που δόθηκαν στις παραπομπές , περισσότερο μου άρεσε εκείνη του Σωτήρη εδώ .

Με την τεχνική αυτή κατασκευάστηκαν τρία ισόπλευρα , ένα με μία κορυφή το

, το δεύτερο με το

και το τρίτο με το

. Όλα είναι ίσα και έχουν εμβαδόν : $E=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(a^2+ab+b^2)$ , το καθένα .

#6

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 01, 2025 5:44 pm Πράγματι το θέμα είναι ιδιαίτερα δημοφιλές ( και στον θεματοδότη , αφού είχε συμμετοχή και στις τρεις ασκήσεις

των παραπομπών ) . Ο λόγος που η ανάρτηση επανέρχεται , είναι για να δώσουμε ένα αποτέλεσμα για το εμβαδόν

ως συνάρτηση των , πράγμα που έχει αλγεβρικό ενδιαφέρον . Λύστε το και θα με θυμηθείτε

Σύμφωνα με την κατασκευή που έχω κάνει εδώ(#4)

: Χρυσό ισόπλευρο.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

$\displaystyle KB = \frac{{2a + b}}{{\sqrt 3 }}$ και με Π.Θ στο KBO

βρίσκω $\displaystyle O{B^2} = \frac{{4({a^2} + ab + {b^2})}}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{E = \frac{{\sqrt 3 }}{3}({a^2} + ab + {b^2})}$

Δεν βρίσκω κανένα αλγεβρικό ενδιαφέρον σε αυτό.

Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Χρυσό ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση