Αναζητούμε τα μέγιστα

KARKAR · #1

: Βρείτε τα μέγιστα.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

Στη διάμετρο AB=6

του μπλε ημικυκλίου κινείται σημείο

. Γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο

το ημικύκλιο διαμέτρου

κέντρου

, προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

.

Αναζητούμε το μέγιστο εμβαδόν , καθώς και το μέγιστο του ύψους

, του τριγώνου SKB

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 03, 2025 11:42 am Στη διάμετρο του μπλε ημικυκλίου κινείται σημείο . Γράφουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο

το ημικύκλιο διαμέτρου κέντρου , προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα .

Αναζητούμε το μέγιστο εμβαδόν , καθώς και το μέγιστο του ύψους , του τριγώνου .

Αν

η ακτίνα του μικρού κύκλου, τότε KS=AK=x

και

. Από Πυθαγόρειο στο KSB

είναι $SB= \sqrt {(6-x)^2-x^2}=2\sqrt 3 \sqrt {3-x}$ , άρα

$(SKB) = \dfrac {1}{2} SK\cdot SB= \sqrt 3 x\sqrt {3-x}$

Για το μέγιστο μπορούμε να συνεχίσουμε με παραγώγιση, αλλά θα την αποφύγω: Με AM-ΓΜ έχουμε

$\sqrt 3 x\sqrt {3-x}=2 \sqrt 3 \left ( \sqrt [3] {\dfrac {x}{2}\cdot \dfrac {x}{2} \cdot (3-x)}\right ) ^{3/2} \le 2 \sqrt 3 \left ( \dfrac {\dfrac {x}{2} + \dfrac {x}{2} +(3-x)}{3}\right ) ^{3/2} = 2 \sqrt 3$

με ισότητα όταν x=2

. Τελειώσαμε.

Για το μέγιστο του

, αφού ξέρουμε τις πλευρές του SKB

εύκολα βρίσκουμε $h= \dfrac {x\sqrt {3-x}}{6-x}$ (η άσκηση θα μπορούσε να τέλειωνε εδώ γιατί τα υπόλοιπα είναι πολλές ανιαρές πράξεις αλλά απόλυτη ρουτίνα). Με παραγώγιση θα βρούμε

$h'= \dfrac {x^2-18x+36}{2(6-x)^2\sqrt {3-x}}$ . Μηδενίζεται όταν $x= 9\pm 3\sqrt 5$ . Κρατάμε το πλην. Αν έκανα σωστά τις πράξεις, η τιμή του μεγίστου είναι $\dfrac {(9-3\sqrt 5)\sqrt {3\sqrt 5 -6}}{3\sqrt 5-3}\approx 1,8$

Αναζητούμε τα μέγιστα

Αναζητούμε τα μέγιστα

Re: Αναζητούμε τα μέγιστα

Μέλη σε σύνδεση