Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

#1

Μέσα σε τελείως φυσιολογικά όρια κινείται και το παρακάτω θεματάκι. Θέλω να πιστεύω ότι ακόμα και οι ''καλοί '' μαθητές θα το απολαύσουν, διότι δεν θα τους βασανίσει.Το δίνω για απλό και θα στεναχωρηθώ αν τους φανεί δύσκολο.Δεν ισχυρίζομαι βέβαια ότι είναι εύκολο για δεύτερο θέμα , αλλά και ο μέσος μαθητής μπορεί να κερδίσει μονάδες από αυτό.Ίσως για τρίτο θέμα να ήταν πιο κατάλληλο.Γιατί άραγε θα πρέπει το επίπεδο των εξετάσεων να είναι τόσο υψηλό στα μαθηματικά, ώστε μόνο ένα τόσο μικρό ποσοστό μαθητών να ξεπερνάει το 14/20 ;

ΑΣΚΗΣΗ

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α,β,γ με

$\displaystyle{ |{\rm{\alpha | = |\beta | = |\gamma | = 2 }}{\rm{, \alpha + \beta + \gamma = 1}} }$

α) Να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle{ {\rm{(\alpha + }}\overline {\rm{\beta }} {\rm{)(\beta + }}\overline {\rm{\gamma }} {\rm{)(\gamma + }}\overline {\rm{\alpha }} {\rm{) }}\, \in \mathbb R }$

β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

$\displaystyle{ {\rm K} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{\alpha }}} + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{\beta }}} + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{\gamma }}} }$

γ) Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{ |\alpha + \beta | + |\beta + \gamma | + |\gamma + \alpha | \ge 2 }$

Μπάμπης

Ανδρέας Πούλος · #2

Μπάμπη,
οι μαθητές που συμμετέχουν στο Φόρουμ σίγουρα θα λύσουν ένα τέτοιο θέμα, διότι το επίπεδό τους στα σχολικά Μαθηματικά είναι πολύ μεγαλύτερο του 12, χωρίς να υπερβάλλω είναι πολύ υψηλό.
Άρα δεν έχουν νόημα τέτοιου είδους οριοθετήσεις.
Αυτό μοιάζει σαν να πηγαίνει κάποιος σε ένα αθλητικό σύλλογο και να βγάζει λόγους για την αξία και την καλή επίδραση του αθλητισμού στην ζωή του ατόμου κλπ. Οι συμμετέχοντες τα ξέρουν αυτά στην πράξη. Με τους άλλους τι γίνεται, που δεν έχουν πατήσει ποτέ σε γυμναστήριο;
Τελικά, δεν νομίζω ότι ένα ποσοστό μεγαλύτερο του 25% των μαθητών της Γ΄ Λυκείου μπορεί να λύσει τέτοια θέματα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Dimitris X · #3

στο γ μήπως θα μπορούσαμε να βελτιώσουμε το κάτω φράγμα στο 3????
$|a+b|=|1-c| \ge |1-|c||=1.$
Αντίστοιχα και τα άλλα....

#4

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Μπάμπη,
οι μαθητές που συμμετέχουν στο Φόρουμ σίγουρα θα λύσουν ένα τέτοιο θέμα, διότι το επίπεδό τους στα σχολικά Μαθηματικά είναι πολύ μεγαλύτερο του 12, χωρίς να υπερβάλλω είναι πολύ υψηλό.
Άρα δεν έχουν νόημα τέτοιου είδους οριοθετήσεις.
Αυτό μοιάζει σαν να πηγαίνει κάποιος σε ένα αθλητικό σύλλογο και να βγάζει λόγους για την αξία και την καλή επίδραση του αθλητισμού στην ζωή του ατόμου κλπ. Οι συμμετέχοντες τα ξέρουν αυτά στην πράξη. Με τους άλλους τι γίνεται, που δεν έχουν πατήσει ποτέ σε γυμναστήριο;
Τελικά, δεν νομίζω ότι ένα ποσοστό μεγαλύτερο του 25% των μαθητών της Γ΄ Λυκείου μπορεί να λύσει τέτοια θέματα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέα, αυτό είναι ακριβώς που με προβληματίζει. Τι θα έγραφαν οι μαθητές μας με αυτό το επίπεδο των θεμάτων, αν κανένας δεν έκανε συμπληρωματικά μαθήματα κάθε είδους και πήγαινε στις εξετάσεις μόνο με τις γνώσεις ή την εμπειρία του σχολείου !
Σίγουρα τα αποτελέσματα θα ήταν απογοητευτικά. Αυτό δε σημαίνει ότι το σχολείο δεν κάνει καλά τη δουλειά του. Απλά τα θέματα , όπως είναι τα τωρινά , δεν είναι κατάλληλα και οι μαθητές δεν αυτενεργούν παρά τρέχουν από το πρωί μέχρι το βράδυ!
Το γεγονός ότι τα δύσκολα θέματα εξυπηρετούν τους σκοπούς μας(...), είναι άλλο ζήτημα.

Καλή βδομάδα - Μπάμπης

#5

Dimitris X έγραψε:στο γ μήπως θα μπορούσαμε να βελτιώσουμε το κάτω φράγμα στο 3????
$|a+b|=|1-c| \ge |1-|c||=1.$
Αντίστοιχα και τα άλλα....

Δημήτρη, τώρα που ερχόμουνα σχολείο και έψαχνα να πρω ποιον τρόπο θα ακολουθούσε ίσως ένας μαθητής , σκέφτηκα και τον τρόπο σου να βάλω δηλαδή όπου 2 το 3. Αφού με πρόλαβες όμως, δεν αλλάζω την άσκηση . Θα μπορέσουν έτσι οι συνάδελφοι να βάλουν την παρατήρησή σου συμπληρωματικό ερώτημα, ώστε να φρεσκάρουν την τριγωνική ανισότητα και στα δύο σκέλη.
Δεν θέλω να παραλείψω να σε συγχαρώ για αυτή την ωραία σου λύση !

Μπάμπης

Rania · #6

α) Ανοιγω το γινομενο:
$abg+a\bar{a}b+ag\bar{g}+a\bar{a}\bar{g}+b\bar{b}g+b\bar{b}\bar{a}+\bar{b}\bar{g}g+\bar{a}\bar{g}\bar{a}$ . Επισης $|a|^{2}=a\bar{a}=4$ , παρομοιως για β και γ. Αρα το γινομενο γινεται: $abg+4b+4g+4a+4\bar{g}+4\bar{a}+4\bar{b}+\bar{a}\bar{b}\bar{g}$ δηλαδη $2Re(abg)+2Re(4b)+2Re(4g)+2Re(4a) \epsilon R$ .

β) $a=\frac{4}{\bar{a}},b=\frac{4}{\bar{b}},g=\frac{4}{\bar{g}}$ και $a+b+g=1 \Leftrightarrow \bar{a}+\bar{b}+\bar{g}=1$ .
$K=\frac{1}{\frac{4}{\bar{a}}}+\frac{1}{\frac{4}{\bar{b}}}+\frac{1}{\frac{4}{\bar{g}}} \Leftrightarrow \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{g}}{4}=\frac{1}{4}$

γ) a+b=1-g, b+g=1-a, g+a=1-b

Αρα

Μετα γινεται απλο, απο τριγωνικη ανισοτητα:
$|a+b|=|1-g| \geq |1-|g||=|1-2|=1$
$|g+b|=|1-a| \geq |1-|a||=|1-2|=1$
$|g+a|=|1-b| \geq |1-|b||=|1-2|=1$
Με προσθεση κατα μελη:
$|a+b|+|b+g|+|a+g|\geq 3 >2$
Αρα οντως θελει κατω φραγμα το 3.
Για θεμα 2ο μια χαρα ειναι.

Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Re: Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Re: Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Re: Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Re: Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Re: Μιγαδικοί - Για όσους αρκούνται στο 12 !

Μέλη σε σύνδεση