Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

KARKAR · #1

: Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή.png (17.47 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r

, επιλέξτε σημεία S , T

, ώστε :

και : $\widehat{SAT}=\widehat{TAB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 24, 2025 5:56 am Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , επιλέξτε σημεία , ώστε : και : $\widehat{SAT}=\widehat{TAB}$ .

: Ίσες γωνίες-διπλάσια χορδή.png (18.03 KiB) Προβλήθηκε 733 φορές

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{2x}}{{2R}},\cos 2\theta = \frac{x}{{2R}} \Rightarrow \cos \theta = 2\cos 2\theta \Leftrightarrow 4{\cos ^2}\theta - \cos \theta - 2 = 0,$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{\cos \theta = \frac{{1 + \sqrt {33} }}{8}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 24, 2025 5:56 am Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , επιλέξτε σημεία , ώστε : και : $\widehat{SAT}=\widehat{TAB}$ .

Με

θα είναι $\angle CSB=90^0 \Rightarrow C,S,A$ συνευθειακά και BC=2r

Ισχύει

και $2y^2=2r(2r-x) \Rightarrow y^2=2r^2-rx$

Εξισώνοντας παίρνουμε 4x^2-rx-2r^2=0

με δεκτή ρίζα $x= \dfrac{1+ \sqrt{33} }{8}r$

: Ίσες γωνίες ,διπλάσια χορδή.png (32.29 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 24, 2025 5:56 am Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , επιλέξτε σημεία , ώστε : και : $\widehat{SAT}=\widehat{TAB}$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Θέτω , $AS = 2x \Rightarrow AT = 4x\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ON = x$ . Επίσης προφανές ότι :

$\vartriangle SAE = \vartriangle DAO$ κι έτσι αν , $TE = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TN = y \Rightarrow k = 4x - r\,\,\left( 1 \right)\,\,,\,\,TN = r - x\,\,\,\left( 2 \right)\,\,$ .

: ϊσες γωνίες διπλάσια χορδή.png (24.14 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων $\vartriangle SAE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle NTE$ , έχω : $\dfrac{{SA}}{{TN}} = \dfrac{{AE}}{{ET}}$ που λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ γίνεται :

$\dfrac{{2x}}{{r - x}} = \dfrac{r}{{4x - r}} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{{16}}r}$

Γράφω λοιπόν τον κύκλο $\left( {O,x} \right)$ και από το

φέρνω εφαπτομένη σ αυτόν που τέμνει το ημικύκλιο στο

.

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 24, 2025 5:56 am Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , επιλέξτε σημεία , ώστε : και : $\widehat{SAT}=\widehat{TAB}$ .

Οι πιο πάνω λύσεις, των φίλων και συναδέλφων Γιώργου και Μιχάλη μου άρεσαν αρκετά. Ειδικά του Γιώργου ήταν της μορφής:

«Ψεκάστε, σκουπίστε, τελειώσατε»

Έστω ακόμα μια λύση παρόμοια με την προηγούμενη μου ανάρτηση .

Πάλι έστω $AS = 2x \Rightarrow AT = 4x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ON = x$ . Επίσης $\vartriangle SAE = \vartriangle DAO$

( από μια κάθετη πλευρά ίση και τις προσκείμενες σ αυτές οξείες γωνίες ίσες ) έτσι AE = r

και $TE = 4x - r\,\,,\,\,TN = r - x$ .

: ϊσες γωνίες διπλάσια χορδή_new.png (23.86 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Επειδή το

είναι εγγράψιμο θα ισχύει : $TN \cdot TQ = TE \cdot TA \Rightarrow \left( {r - x} \right)2r = \left( {4x - r} \right)4x$ απ’ όπου : $\boxed{x = \frac{{1 + \sqrt {33} }}{{16}}r}$

Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

Re: Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

Re: Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

Re: Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

Re: Ίσες γωνίες , διπλάσια χορδή

Μέλη σε σύνδεση