Η ωραία διχοτόμος

KARKAR · #1

: Η ωραία διχοτόμος.png (8.17 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

,

η διχοτόμος

ισούται με το τμήμα

. Υπολογίστε την

.

Nikitas K. · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 11:58 am Η ωραία διχοτόμος.pngΣτο τρίγωνο , με : ,

η διχοτόμος ισούται με το τμήμα . Υπολογίστε την .

: Η ωραία διχοτόμος.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

$\displaystyle \widehat A = 2\widehat B \Leftrightarrow {(x + 5)^2} = {(x + 2)^2} + x(x + 2) \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0,$ απ' όπου $\boxed{x=7}$

Άρα, a=12, b=9, c=7

και από θεώρημα διχοτόμου, $\boxed{AD=BD=\frac{21}{4}}$

Nikitas K. · #4

Στο σχήμα του κ. Γιώργου ισχύει και το θεώρημα που κυκλοφορεί στο φόρουμ εδώ

(x+5)^2=(x+2)^2+(x+2)x

από όπου υπολογίζουμε, αν θέλουμε και το x=7

(δεχόμαστε μόνο τη θετική λύση) όσον αφορά τη συνέχεια στο ποστ#2 εδώ

Υ.Γ. Έγραφα βιαστηκά προηγουμένως και δεν είχα προσέξει ότι χρησιμοποίησα ακριβώς το ίδιο θεώρημα με την παραπάνω λύση

Κατά την επεξεργασία προστέθηκε το υστερόγραφο.

#5

Αλλιώς, χωρίς τη χρήση του θεωρήματος (στην ουσία γίνεται η απόδειξη).

Σε κάθε τρίγωνο ABC

με διχοτόμο

και

εύκολα βρίσκουμε ότι $AD=\dfrac{bc}{a}.$

Αλλά, $BD=\dfrac{ac}{b+c},$ απ' όπου τελικά προκύπτει a^2=b(b+c)...

κλπ.

Nikitas K. · #6

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 11:58 am Η ωραία διχοτόμος.png Στο τρίγωνο , με : ,

η διχοτόμος ισούται με το τμήμα . Υπολογίστε την .

Ας γράψω και μια απόδειξη με αναλυτική γεωμετρία για να ξεχρεώσω την μισή απόδειξη που είχα κάνει προηγουμένως και να ξεμπερδέψω από το

: Η ωραία διχοτόμος.png (27 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

$\displaystyle { \begin{Bmatrix} p^2 + q^2 = k^2 \\\\ (p-k-5)^2 + q^2 = (k+2)^2 \\\\ (p-d)^2 + q^2 = d^2 \\\\ \dfrac{k+5 - d}{\sqrt{q^2 + (k+5-p)^2}} = \dfrac{d}{\sqrt{q^2 + p^2}} \end{Bmatrix}\Rightarrow (d,k,p,q) = \left(\dfrac{21}{4}, 7, \dfrac{14}{3}, \dfrac{7\sqrt{5}}{3}\right) }$

KARKAR · #7

: Ωραία διχοτόμος.png (9.79 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές

Είναι : $\cos B = \dfrac{x}{2y}=...\dfrac{x+1}{x+5}$ . Άρα : $(x+2)^2=x^2+(x+5)^2-2x(x+5)\dfrac{x+1}{x+5}$ ,

που είναι ισοδύναμη με την : x^2-4x-21=0

, με δεκτή λύση την : x=7

.

... Για να δικαιολογηθεί κάπως η τοποθέτηση της άσκησης στον φάκελο της Άλγεβρας .

Ιστοσελίδα · #8

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 11:58 am Στο τρίγωνο , με : ,

η διχοτόμος ισούται με το τμήμα . Υπολογίστε την .

: shape.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

#9

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 11:58 am Η ωραία διχοτόμος.pngΣτο τρίγωνο , με : ,

η διχοτόμος ισούται με το τμήμα . Υπολογίστε την .

Αν και βρίσκομαι τελευταία σε μεγάλη πίεση , θα γράψω δυο λόγια και την πράγματι ωραία διχοτόμο

Επί της ουσίας είναι ίδια λύση με του Γιώργου και Νικίτα αλλά χωρίς παραπομπές .

: Η ωραία διχοτόμος.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Η ευθεία

τέμνει τον κύκλο $\left( {C,BC} \right)$ στο

. Όλες οι σημειούμενες γωνίες είναι προφανώς ίσες .

Επειδή (δύναμη σημείου

) $AB \cdot AE = C{E^2} - C{A^2} \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = {\left( {x + 5} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2}$ ή

$x\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 7} \right)3$ και x > 0

, άρα $\boxed{x = 7}\,\,$ κ. λ. π.

Η ωραία διχοτόμος

Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Re: Η ωραία διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση