Περνάνε από το ίδιο σημείο

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Θεωρούμε 5 σημεία στο επίπεδο που ανά τρία δεν είναι συνευθειακά.
Παίρνουμε τρία από αυτά και βρίσκουμε το βαρύκεντρο του τριγώνου που ορίζουν.
Θεωρούμε την ευθεία που ορίζεται από το βαρύκεντρο και το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος των δύο υπολοίπων σημείων.
Την ίδια διαδικασία την κάνουμε για κάθε τριάδα σημείων.
Να δειχθεί ότι αυτές οι ευθείες περνάνε από το ίδιο σημείο.

[Mihalis_Lambrou]

Θεωρούμε 5 σημεία στο επίπεδο που ανά τρία δεν είναι συνευθειακά.
Παίρνουμε τρία από αυτά και βρίσκουμε το βαρύκεντρο του τριγώνου που ορίζουν.
Θεωρούμε την ευθεία που ορίζεται από το βαρύκεντρο και το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος των δύο υπολοίπων σημείων.
Την ίδια διαδικασία την κάνουμε για κάθε τριάδα σημείων.
Να δειχθεί ότι αυτές οι ευθείες περνάνε από το ίδιο σημείο.

Αν τα σημεία είναι τα όπου , θα δούμε ότι το σημείο βρίσκεται σε όλες τις εν λόγω ευθείες.

Πράγματι, αν τα τρία αρχικά (όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις) τότε το βαρύκεντρο του τριγώνου που σχηματίζουν είναι το

.

Επίσης, το μέσον των άλλων δύο σημείων είναι το .

Παρατηρούμε ότι τό σημείο του διαιρεί το τμήμα σε λόγο είναι το





Με άλλα λόγια το βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει τα . Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Θεωρούμε 5 σημεία στο επίπεδο που ανά τρία δεν είναι συνευθειακά.
Παίρνουμε τρία από αυτά και βρίσκουμε το βαρύκεντρο του τριγώνου που ορίζουν.
Θεωρούμε την ευθεία που ορίζεται από το βαρύκεντρο και το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος των δύο υπολοίπων σημείων.
Την ίδια διαδικασία την κάνουμε για κάθε τριάδα σημείων.
Να δειχθεί ότι αυτές οι ευθείες περνάνε από το ίδιο σημείο.

Αν τα σημεία είναι τα όπου , θα δούμε ότι το σημείο βρίσκεται σε όλες τις εν λόγω ευθείες.

Πράγματι, αν τα τρία αρχικά (όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις) τότε το βαρύκεντρο του τριγώνου που σχηματίζουν είναι το

.

Επίσης, το μέσον των άλλων δύο σημείων είναι το .

Παρατηρούμε ότι τό σημείο του διαιρεί το τμήμα σε λόγο είναι το





Με άλλα λόγια το βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει τα . Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις.

Πολύ ωραία Μιχάλη.
Εγω πάντως θα έλεγα ότι όλες αυτές οι ευθείες περνάνε από το κέντρο μάζης ,αν σε αυτά τα σημεία βάλουμε ίσες μάζες.
Υπάρχουν πολλές ασκήσεις Γεωμετρίας που ευθείες συντρέχουν στο κέντρο μάζης.

[Mihalis_Lambrou]

Εγω πάντως θα έλεγα ότι όλες αυτές οι ευθείες περνάνε από το κέντρο μάζης ,αν σε αυτά τα σημεία βάλουμε ίσες μάζες.
Υπάρχουν πολλές ασκήσεις Γεωμετρίας που ευθείες συντρέχουν στο κέντρο μάζης.

Ορθότατα.

Έχω υπόψη την συλλογιστική με μάζες, αλλά την απέφυγα για να μείνω σε καθαρά γεωμετρική απόδειξη.

Αξίζει να προσθέσω το ιστορικό σχόλιο ότι η αρχική απόδειξη του Ceva του ομώνυμου θεωρήματος στο De lineis rectis (1678) είναι ακριβώς με μάζες. Το ίδιο και η απόδειξή του τού Θεωρήματος Μενελάου.

Αργότερα ο Möbius (γνωστός για την ομώνυμη τανία Möbius) ανακάλυψε τις λεγόμενες βαρυκεντρικές συντεταγμένες που είναι η θεωρία η οποία τακτοποιεί τις αποδείξεις με μάζες. Τα σημοσίευσε αυτά στο έργο του Der barycentrische Calcül το 1827.