Περνάει από το βαρύκεντρο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Σε ένα τρίγωνο ABC

υπάρχει σημείο

στην

ώστε

. Οι διχοτόμοι των γωνιών $\measuredangle ADC,\measuredangle ADB$ τέμνουν τις AC,AB

στα σημεία M,N

.
Να δειχθεί ότι η M,N

περνάει από το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

.

Dimessi · #2

: Διέλευση από το βαρύκεντρο..png (29.21 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

$\bullet$ Έστω

το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ και

το μέσο του AB.

$\displaystyle \frac{NQ}{NA}\cdot \frac{CU}{UQ}\cdot \frac{AM}{MC}\overset{\Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle ADC}=\frac{2NQ}{NA}\cdot \frac{AD}{DC}=\frac{2AN-AB}{AN}\cdot \frac{AD}{DC}\left ( \ast \right ).$
$\displaystyle \frac{AN}{BN}\overset{\Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle ADB}=\frac{AD}{DB}\Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}\overset{\left ( \ast \right )}\Rightarrow \frac{NQ}{NA}\cdot \frac{CU}{UQ}\cdot \frac{AM}{MC}=\frac{AD-DB}{AD}\cdot \frac{AD}{DC}=$
$\displaystyle \overset{AD=BC}=\frac{DC}{AD}\cdot \frac{AD}{DC}=1,$
άρα από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Μενέλαου στο τρίγωνο $\vartriangle AQC,$ τα σημεία N,U,M

είναι συνευθειακά

: Διέλευση από το βαρύκεντρο..png (29.21 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για να το δούμε διαφορετικά .
Από θεώρημα διχοτόμου και λόγω της AD=BC

προκύπτει ότι $\frac{NB}{AN}+\frac{MC}{AM}=1$
Βάζουμε στα B,C

μάζες 1. Στο

βάζουμε μάζα $\frac{NB}{AN}+\frac{MC}{AM}=1$ .

Το κέντρο μάζης του

και του

με μάζα $\frac{NB}{AN}$ είναι το

.

Το κέντρο μάζης του

και του

με μάζα $\frac{MC}{AM}$ είναι το

.

Αρα το κέντρο μάζης του ABC

βρίσκεται στην ευθεία που ορίζουν τα M,N

Αρα αυτή περνάει από το βαρύκεντρο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Τρί Οκτ 07, 2025 7:31 am Σε ένα τρίγωνο υπάρχει σημείο στην ώστε . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\measuredangle ADC,\measuredangle ADB$ τέμνουν τις στα σημεία .
Να δειχθεί ότι η περνάει από το βαρύκεντρο του τριγώνου .

Έστω

το σημείο τομής της

με την διάμεσο

.Θα αποδείξουμε ότι $\dfrac{AG}{GS}=2$

Με BE,CZ//AS

έχουμε $\dfrac{BE}{AG}= \dfrac{BN}{NA}= \dfrac{BD}{DA} (1)$ και $\dfrac{CZ}{AG}= \dfrac{CM}{MA}= \dfrac{CD}{DA} (2)$

$(1)+(2) \Rightarrow \dfrac{BE+CZ}{AG}= \dfrac{BD+CD}{DA} =1$ (αφού AD=BC

)

Αλλά

αφού

είναι διάμεσος του τραπεζίου BEZC

Άρα $\dfrac{2GS}{AG} =1 \Rightarrow \dfrac{AG}{GS} =2$

: Περνά από το βαρύκεντρο.png (32.65 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Περνάει από το βαρύκεντρο

Περνάει από το βαρύκεντρο

Re: Περνάει από το βαρύκεντρο

Re: Περνάει από το βαρύκεντρο

Re: Περνάει από το βαρύκεντρο

Μέλη σε σύνδεση