Εύρεση ρητών

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $\left ( x,y \right )$ θετικών ρητών ώστε τα $x+y,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
να είναι ακέραιοι.

add2math · #2

Αφού οι αριθμοί x+y

και $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ είναι ακέραιοι, ακέραιος θα είναι και το γινόμενό τους, $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$ .

Εστω $q=\frac{x}{y}$ , προφανώς $q\in\mathbb{Q}^{+}$ . Τότε $q+\frac{1}{q}=n\in\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $q^{2}-nq+1=0$ (*).

Για να είναι $q\in\mathbb{Q}$ , πρέπει η διακρίνουσα της (*) να είναι τετράγωνο φυσικού αριθμού, δηλαδή $n^{2}-4=k^{2},k\in\mathbb{N} \Rightarrow n^2-k^2=4 \Rightarrow (n+k)(n-k)=4$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} n+k=4, n-k=1 \\ n+k=2, n-k=2 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} n=\frac{5}{2}, k=\frac{3}{2}\notin\mathbb{N} \\ n=2, k=0 \end{cases}$ .

Αρα $q+\frac{1}{q}=2\Rightarrow q=1\Rightarrow x=y$ .

Αναζητούμε λοιπόν ρητό αριθμό

τέτοιο, ώστε $2x=m\in\mathbb{N}$ και $\frac{2}{x}\in\mathbb{N}\Rightarrow\frac{4}{m}\in\mathbb{N}\Rightarrow m\in\{4,2,1\}\Rightarrow$ $x\in\left\{2,1,\frac{1}{2}\right\}$ .

Τελικά τα ζεύγη (x,y)

θετικών ρητών που επαληθεύουν τη συνθήκη του προβλήματος είναι τα (2,2), (1,1)

και $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ .

#3

https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 11#p276011

Εύρεση ρητών

Εύρεση ρητών

Re: Εύρεση ρητών

Re: Εύρεση ρητών

Μέλη σε σύνδεση