Μέγιστη γωνία

mick7 · #1

Να βρείτε την μέγιστη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $\overrightarrow{u}=(a,b,c)$ και $\overrightarrow{v}=(b,c,a)$

#2

mick7 έγραψε: Πέμ Νοέμ 13, 2025 5:25 pm Να βρείτε την μέγιστη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $\overrightarrow{u}=(a,b,c)$ και $\overrightarrow{v}=(b,c,a)$

.

Απάντηση: 120^o

.

Αν $\displaystyle{\theta}$ η γωνία των διανυσμάτων, τότε η μέγιστη τιμή της επιτυγχάνεται όταν έχουμε το ελάχιστο $\cos \theta$ (διότι το συνημίτονο είναι φθίνουσα συνάρτηση).

Είναι $\displaystyle{||\overrightarrow{u}|| = \sqrt {a^2+b^2+c^2} =||\overrightarrow{v}||}$ , οπότε χωρίς βλάβη a^2+b^2+c^2=1

(μοναδιαία διανύσματα). Άρα

$\displaystyle{\cos \theta = \dfrac {\langle \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\rangle }{||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||}= \dfrac {ab+bc+ca}{1}= \dfrac {1}{2} ( (a+b+c) ^2 - (a^2+b^2+c^2)) = \dfrac {1}{2} ( (a+b+c) ^2 - 1) \ge - \dfrac {1}{2}}$ ,

με ισότητα όταν $a= \dfrac {\sqrt 6}{6}, \, b= \dfrac {\sqrt 6}{6}, \,c= -\dfrac {2\sqrt 6}{6}$ (με άλλα λόγια ελέγχουμε ότι a^2+b^2+c^2=1

και

).

Συνεπώς έχουμε μέγιστη $\theta$ όταν $\displaystyle{\cos \theta = - \dfrac {1}{2}}$ , ισοδύναμα $\theta = 120^o$ .

Μέγιστη γωνία

Μέγιστη γωνία

Re: Μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση