Τρίγωνο σε δύο κύκλους

KARKAR · #1

: Τρίγωνο σε δύο κύκλους.png (22.38 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

Οι κορυφές B , C

του τριγώνου ABC

είναι σημεία του κύκλου (O,3)

, ενώ η κορυφή

και το ίχνος

του ύψους

, ανήκουν στον κύκλο (O,2)

. α) Υπολογίστε το άθροισμα : AB^2+BC^2+CA^2

.

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου αν : AD=3

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 6:52 am
Τρίγωνο σε δύο κύκλους.pngΟι κορυφές του τριγώνου είναι σημεία του κύκλου , ενώ η κορυφή και το ίχνος

του ύψους , ανήκουν στον κύκλο . α) Υπολογίστε το άθροισμα : .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου αν : .

α) Θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ABE, ACE:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} A{B^2} + B{E^2} = 2 \cdot {3^2} + 8 = 26 \\ A{C^2} + C{E^2} = 2 \cdot {3^2} + 8 = 26 \\ \end{array} \right. \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + (B{E^2} + C{E^2}) = 52 \Leftrightarrow$

$\displaystyle A{B^2} + A{C^2} + {(BE + CE)^2} - 2BE \cdot CE = 52 \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} + B{C^2} = 2({3^2} - {2^2}) + 52$

Άρα, $\boxed{AB^2+BC^2+AC^2=62}$

: Τρίγωνο σε δύο κύκλους.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

β) Από Π. Θ στο ADE

προκύπτει $DE=\sqrt 7$ και από δύναμη σημείου, $\displaystyle BD \cdot BE = CE \cdot CD = 5.$

$\displaystyle BD(BD + DE) = 5 \Leftrightarrow B{D^2} + \sqrt 7 BD - 5 = 0 \Leftrightarrow BD = CE = \frac{{ - \sqrt 7 + 3\sqrt 3 }}{2}$

$\displaystyle BC = 2BD + DE = 3\sqrt 3 ,AD = 3 \Rightarrow$ $\boxed{(ABC)=\dfrac{9\sqrt 3}{2}}$

edit: Άρση απόκρυψης και λύση της άσκησης 8:50 πμ, οπότε δε σε πρόλαβα Μιχάλη.
Έτσι κι αλλιώς, πάνως, έχουμε διαφορετική λύση.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 10, 2025 6:52 am
Τρίγωνο σε δύο κύκλους.pngΟι κορυφές του τριγώνου είναι σημεία του κύκλου , ενώ η κορυφή και το ίχνος

του ύψους , ανήκουν στον κύκλο . α) Υπολογίστε το άθροισμα : .

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου αν : .

: Τριγ δύο.png (39.63 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές

Έστω

το απόστημα της

, οπότε είναι και AD=2d

. Έχουμε τώρα από το Πυθαγόρειο

AB^2+BC^2+CA^2= (p^2+ 4d^2)+ (2p+2q)^2+[(2q+p)^2+4d^2]= 6p^2+8q^2+12pq+8d^2=

.

Δηλαδή $\boxed {AB^2+BC^2+CA^2= 6R^2+2r^2}$ . Εδώ

.

Για το εμβαδόν

$E= \dfrac {1}{2}\cdot 2(p+q)\cdot 2d=2d\sqrt {R^2-d^2}$ οπότε $\boxed {E=\ h\sqrt {R^2- \dfrac {h^2}{4}} }$ , όπου εδώ 2d= h = AD=3

και άρα $E= \dfrac {9}{2} \sqrt 3$

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος όσο έγραφα, και με ωραίο σχήμα.

Τρίγωνο σε δύο κύκλους

Τρίγωνο σε δύο κύκλους

Re: Τρίγωνο σε δύο κύκλους

Re: Τρίγωνο σε δύο κύκλους

Μέλη σε σύνδεση