Πεντάκυκλο

αρψ2400 · #1

Έστω τετράγωνο ABCD

και ίσα ευθύγραμμα τμήματα

και

με τα σημεία E,Z,H,F

επάνω στα ευθύγραμμα τμήματα

,

και

αντίστοιχα .Έστω

το σημείο τομής των

,

και έστω οι τέσσερις κύκλοι K(AEI) , K(BEI) ,K(CZI) ,K(DZI)

.Οι

και

τέμνονται επίσης στο

, ενώ οι

και

στο

.Αν

το κέντρο του τετραγώνου να αποδείξετε ότι τα I, N ,M , L

είναι ομοκυκλικά.

(Στην αναζήτηση στο διαδίκτυο δεν μου την έβγαλε κάπου )

Dimessi · #2

: εγγράψιμο..png (59.37 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Από γνωστή ιδιότητα $EZ \perp HF.$ Οπότε οι κύκλοι $\left ( AEF \right ),\left ( BHE \right ),\left ( CZH \right ),\left ( FDZ \right )$ διέρχονται από το

Έχουμε $\angle ANI\overset{AENI\epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle AEI\overset{AB \parallel CD}=\angle CZI\overset{CZIN \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=180^\circ-\angle CNI,$ άρα τα σημεία A,N,C

είναι συνευθειακά οπότε $\displaystyle \angle EIN\overset{EAIN \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle EAN\overset{N\in AC}\equiv \angle EAC=45^\circ\overset{\angle EIH=90^\circ}\Rightarrow \angle HIN=45^\circ.$ Ακόμα $\displaystyle \angle DLI\overset{DZLI \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle DZI\overset{AB \parallel CD}=\angle IEB\overset{IEBL \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=180^\circ-\angle ILB,$ άρα τα σημεία D,L,B

είναι συνευεθειακά οπότε $\displaystyle \angle LIZ\overset{LIDZ \epsilon \gamma \gamma \varrho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle LDZ\overset{L\in DB}\equiv \angle BDZ=45^\circ\overset{\angle HIZ=90^\circ}\Rightarrow \angle HIL=45^\circ.$ Οπότε $\displaystyle \angle LIN\overset{\angle HIN=\angle HIL=45^\circ}=90^\circ=180^\circ-\angle DMA\overset{L\in DB_{N\in AC}}=180^\circ-\angle LMN,$ άρα τα σημεία I,N,M,L

είναι ομοκυκλικά.

Πεντάκυκλο

Πεντάκυκλο

Re: Πεντάκυκλο

Μέλη σε σύνδεση