Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί to

$\displaystyle\int \frac{x^5-x}{x^8+1}dx$

#2

mick7 έγραψε: Σάβ Δεκ 13, 2025 10:55 am Να υπολογιστεί to

$\displaystyle\int \frac{x^5-x}{x^8+1}dx$

.
Με την αλλαγή μεταβλητής y=x^2

έχουμε

$\displaystyle{I= \int \frac{x(x^4-1)}{x^8+1}dx= \dfrac {1}{2} \int \frac{y^2-1}{y^4+1}dy= }$

$\displaystyle{=\dfrac {1}{2} \int \frac{y^2-1}{(y^2 +\sqrt 2 y+1)(y^2 -\sqrt 2 y+1)}dy= }$

$\displaystyle{=- \dfrac {1}{4} \int \left ( \dfrac{\sqrt 2 y+1}{y^2 +\sqrt 2 y+1}- \dfrac{\sqrt 2 y-1}{y^2 -\sqrt 2 y+1}\right )dy=}$

$\displaystyle{ =- \dfrac {1}{4\sqrt 2} \int \left ( \dfrac{(y^2 +\sqrt 2 y+1)' }{y^2 +\sqrt 2 y+1}- \dfrac{(y^2 -\sqrt 2 y+1)' }{y^2 -\sqrt 2 y+1}\right )dy=}$

$\displaystyle{= - \dfrac {1}{4\sqrt 2} \left ( \ln{(y^2 +\sqrt 2 y+1)}- \ln (y^2 -\sqrt 2 y+1) \right ) + c= }$

$\displaystyle{= \dfrac {1}{4\sqrt 2} \ln{\dfrac {x^4-\sqrt 2 x^2+1} {x^4 +\sqrt x^2 y+1} +c }$

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση