Περιακτίνα

KARKAR · #1

: περιακτίνα.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Το τραπέζιο ABCD

είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες

πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : a=4 , b=3

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 6:21 pm Το τραπέζιο είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες

πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : .

.

: περιακτ.png (33.36 KiB) Προβλήθηκε 427 φορές

.
Είναι

και άρα $GC=BK= \dfrac {1}{2}(BC-KG)= \dfrac {a-b}{2}$ .

Τώρα, βασικά, υπολογίζουμε το

με δύο διαφορετικούς τρόπους.

α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο DGC

έχουμε $DG=\sqrt {DC^2-GC^2}= \sqrt {a^2- \left (\dfrac {a-b}{2} \right ) ^2}$

β) Από το ορθογώνια τρίγωνα ODE, OFC

έχουμε

$DG=DH+HG= OE+OF= \sqrt {R^2- \left (\dfrac {b}{2} \right ) ^2}+\sqrt {R^2- \left (\dfrac {a}{2} \right ) ^2}$

Άρα

$\sqrt {a^2- \left (\dfrac {a-b}{2} \right ) ^2}= \sqrt {R^2- \left (\dfrac {b}{2} \right ) ^2}+\sqrt {R^2- \left (\dfrac {a}{2} \right ) ^2}$

Λύνοντας θα βρούμε $\boxed {R= \dfrac {a\sqrt a} {\sqrt {3a-b} }}$ .

Στο αριθμητικό παράδειγμα είναι $R=\dfrac {8}{3}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 6:21 pm περιακτίνα.pngΤο τραπέζιο είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες

πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : .

Φέρνω

και είναι

: Περιακτίνα.Κ.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

$\displaystyle \cos \theta = \frac{a}{{2R}},\cos 2\theta = \frac{{a - b}}{{2a}} \Rightarrow 2\frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} - 1 = \frac{{a - b}}{{2a}} \Leftrightarrow$ $\boxed{R = \sqrt {\frac{{{a^3}}}{{3a - b}}} }$

Στο παράδειγμα $R=\dfrac{8}{3}.$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 6:21 pm περιακτίνα.pngΤο τραπέζιο είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες

πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : .

$(ABCD)=(ABD)+(BDC)=\dfrac{a.DB}{4x}(a+b),(1), (ABCD) =\dfrac{b+a}{2}.NL,(2),R=x, (1) ,(2)\Rightarrow aBD=2xNL,(3)$

$\dfrac{BJ}{JD}=\dfrac{a}{b},$

Στο τρίγωνο ABD

με $Stweart, JD=b\sqrt{\dfrac{a}{a+b}},DB=(a+b)\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}, NL=AM=\dfrac{1}{2}\sqrt{3a^{2}-b^{2}+2ab}, x=\dfrac{a\sqrt{a}\sqrt{a+b}}{\sqrt{3a^{2}-b^{2}+2ab}}$

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 6:21 pm περιακτίνα.pngΤο τραπέζιο είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες

πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : .

Κατασκευή

(Πριν διαβάσω τις τρεις λύσεις που προηγούνται)

Θεωρώ τετράγωνο πλευράς , BC = a

( ανοικτό προς τα πάνω . Γράφω τον κύκλο κέντρου

, μέσο του

κι ακτίνας $\dfrac{{a - b}}{2}$ και τέμνει την,

στα $H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ . ΟΙ κάθετες στην

στα $H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ τέμνουν τα ημικύκλια

$\left( {B,a} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {C,a} \right)$ στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ .

: περιακτίνα_1.png (25.18 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Υπόδειξη

Ο κύκλος , την ακτίνα του οποίου ζητούμε είναι ο περιγεγραμμένος του $\vartriangle ABC$ . Από το Θ. Πτολεμαίου στο τραπέζιο

ABCD

υπολογίζω την $AC = \sqrt {a(a + b)}$ οπότε τώρα με διάφορους τρόπους υπολογίζω το $E = \left( {ABC} \right)$ και από τον

Τύπο : $R = \dfrac{{AB \cdot BC \cdot CA}}{{4E}}$ έχω αυτό που θέλω .

Είναι : $\boxed{E = \frac{1}{4}a\sqrt {3{a^2} - {b^2} + 2ab} }$ και $\boxed{R = \frac{{a\sqrt {a\left( {a + b} \right)} }}{{\sqrt {3{a^2} - {b^2} + 2ab} }} = \frac{{a\sqrt a }}{{\sqrt {3a - b} }}}$

KARKAR · #6

Οι δύο τελευταίες λύσεις ας παρατηρήσουμε ότι εν τέλει ταυτίζονται με τις προηγηθείσες , αφού :

: 3a^2-b^2+2ab=a^2+b^2+2ab+2a^2-2b^2=(a+b)^2+2(a+b)(a-b)=

, άρα γίνεται απλοποίηση .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 16, 2025 6:21 pm περιακτίνα.pngΤο τραπέζιο είναι "υπερισοσκελές β' τύπου" , δηλαδή έχει ίσες τις τρεις μεγαλύτερες

πλευρές . Υπολογίστε την ακτίνα του περικύκλου του . Εφαρμογή για : .

Έστω $AD \cap BZ=E$ . Τότε θα είναι DE=a-b

Είναι προφανής η ισότητα των πράσινων γωνιών,συνεπώς $\triangle DEZ \simeq OBC$

Άρα $\dfrac{R}{a}= \dfrac{x}{a-b} \Rightarrow x= \dfrac{R(a-b)}{b}$

Ακόμη , $EZ.EB=ED.EA\Rightarrow x(x+2R)=a(a-b)$

Με αντικατάσταση του

παίρνουμε εύκολα $R=a \sqrt{ \dfrac{a}{3a-b} }$

: Περιακτίνα.png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

Περιακτίνα

Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Re: Περιακτίνα

Μέλη σε σύνδεση