Ισότητα τμημάτων 51

KARKAR · #1

: Ισότητα τμημάτων 51.png (14.08 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές

Στον κύκλο (O)

είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο ABC , (c<b)

και η

είναι διχοτόμος .

Η κάθετη της

στο

τέμνει την ακτίνα

στο σημείο

. Δείξτε ότι : DS=SA

.

Αν επιπλέον είναι : AB=6 , BC=7 , CA=8

, υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 19, 2025 8:56 am Ισότητα τμημάτων 51.pngΣτον κύκλο είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο και η είναι διχοτόμος .

Η κάθετη της στο τέμνει την ακτίνα στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Αν επιπλέον είναι : , υπολογίστε το τμήμα .

.

: ισοτ τμ.png (19.34 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

.
Για το πρώτο και γεωμετρικό μέρος της άσκησης. Για το αριθμητικό, ίσως αργότερα.

Είναι για την επίκεντρη $\widehat {AOB}=2C$ . Άρα από το τρίγωνο OAB

έχουμε

$\phi = \widehat {BAO}- \widehat {BAD}= \dfrac {180-2C}{2}- \dfrac {A}{2}= 90-C-\dfrac {A}{2}$ .

Επίσης, από την εξωτερική γωνία του τριγώνου ADC

έχουμε

$\theta = 90- (C+\dfrac {A}{2})= 90-C-\dfrac {A}{2} = \phi$ , από όπου το ζητούμενο.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 19, 2025 8:56 am Ισότητα τμημάτων 51.pngΣτον κύκλο είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο και η είναι διχοτόμος .

Η κάθετη της στο τέμνει την ακτίνα στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Αν επιπλέον είναι : , υπολογίστε το τμήμα .

Τα ορθογώνια τρίγωνα $AB\Theta ,AKC$ είναι όμοια γιατί ABC=AKC

Όποτε $\hat{BA\Theta }=\hat{KAC},\hat{\ThetaAD}=\dfrac{A}{2}-\hat{BA\Theta }=\hat{DAJ}=\dfrac{A}{2}-\hat{JAC},\hat{\Theta AD}=\hat{ADS},\hat{DAS}=\hat{ADS},AS=DS$

Από το γνωστό τύπο της διχοτόμου AD=6

δηλαδή το τρίγωνο ABD

είναι ισοσκελές και $\hat{BA\Theta }=\hat{\Theta AD}=\hat{DAS}=\sigma$ και $\hat{ASD}=2B,2SD^{2}-2SD^{2}cos\hat{ASD}=$ 36 $\Leftrightarrow x=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ , AS=DS=x

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 19, 2025 8:56 am Ισότητα τμημάτων 51.pngΣτον κύκλο είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο και η είναι διχοτόμος .

Η κάθετη της στο τέμνει την ακτίνα στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Αν επιπλέον είναι : , υπολογίστε το τμήμα .

Η ισότητα των κόκκινων γωνιών είναι προφανής,άρα AS=DS=x

Από Ήρωνα είναι $(ABC)= \dfrac{21 \sqrt{15} }{4}$ άρα $h= \dfrac{3 \sqrt{15} }{2}$ και $R= \dfrac{16}{ \sqrt{15} }$ .

Από Π.Θ στο $\triangle OMC \Rightarrow OM= \dfrac{17}{2 \sqrt{15} } \Rightarrow MZ=OZ-OM= \dfrac{ \sqrt{15} }{2}$

Έτσι $\dfrac{AS}{SO} =\dfrac{ED }{DM} = \dfrac{h}{MZ}=3 \Rightarrow AS=x= \dfrac{3R}{4} \Rightarrow x= \dfrac{4 \sqrt{15} }{5}$

: Ισότητα τμημάτων 51.png (25.89 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

Ισότητα τμημάτων 51

Ισότητα τμημάτων 51

Re: Ισότητα τμημάτων 51

Re: Ισότητα τμημάτων 51

Re: Ισότητα τμημάτων 51

Μέλη σε σύνδεση