Οριζοντίως

KARKAR · #1

: Οριζοντίως.png (17.23 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Το άκρο

της χορδής

είναι ο βόρειος πόλος κύκλου (O)

. Τυχόντος σημείου

του κύκλου , ονομάζουμε

το συμμετρικό ως προς

και

την τομή του κύκλου

με την P'S

. Δείξτε ότι το τμήμα

είναι "οριζόντιο " .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 21, 2025 1:25 pm Οριζοντίως.pngΤο άκρο της χορδής είναι ο βόρειος πόλος κύκλου . Τυχόντος σημείου του κύκλου , ονομάζουμε το συμμετρικό ως προς και την τομή του κύκλου με την . Δείξτε ότι το τμήμα είναι "οριζόντιο " .

: οριζοντίως.png (39.27 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Έστω

ο Νότιος Πόλος του κύκλου. Τότε

είναι «κατακόρυφη» διάμετρος του κύκλου , άρα $QS\bot NS\overset{P{P}'\bot NS}{\mathop{\Rightarrow }}\,QS\parallel P{P}'\overset{MP=M{P}'}{\mathop{\Rightarrow }}\,S.QPN{P}'$ αρμονική δέσμη και με $SQ\bot SN\Rightarrow SN$ διχοτόμος της $\angle PS{P}'\equiv \angle PST\Rightarrow \overset\frown{NP}=\overset\frown{NT}\Rightarrow NP=NT\overset{OP=OT=R}{\mathop{\Rightarrow }}\,$ $PT\bot ON\equiv NQ\overset{NQ\,\,\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta }{\mathop{\Rightarrow }}\,PT$ οριζόντια

Σημείωση: Η διχοτόμηση της γωνίας φαίνεται ευκολότερα (για να ταιριάζει με τον φάκελο) και από το ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο το παίζει το ρόλο του ύψους και της διαμέσου από την εκφώνηση

KARKAR · #3

Στάθη , καλές γιορτές . Εκφράζω την απορία , πως αφού βρήκες την εύκολη λύση της σημείωσης ,

δημοσίευσες εν τέλει την δυσκολότερη

: Οριζοντίως.png (19.53 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Προφανώς : $\overset{\frown}{NP}=\overset{\frown}{NT}$ , ισοδύναμο του αποδεικτέου .

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 21, 2025 6:36 pm Στάθη , καλές γιορτές . Εκφράζω την απορία , πως αφού βρήκες την εύκολη λύση της σημείωσης ,δημοσίευσες εν τέλει την δυσκολότερη

Καλές γιορτές Θανάση.
Την ευκολότερη την άφησα για σένα γιατί την δυσκολότερη δεν θα την έγραφες από ότι "φαίνεται"

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 21, 2025 1:25 pm Οριζοντίως.pngΤο άκρο της χορδής είναι ο βόρειος πόλος κύκλου . Τυχόντος σημείου

του κύκλου , ονομάζουμε το συμμετρικό ως προς και την τομή του κύκλου

με την . Δείξτε ότι το τμήμα είναι "οριζόντιο " .

Προφανώς το τρίγωνο PSP'

είναι ισοσκελές με SP=SP'

και το τραπέζιο PZSG

ισοσκελές τραπέζιο .Αρα

$ZG=SP',\hat{PGZ}=\hat{GP'S}$ και το ZGP'S'

είναι παραλληλόγραμμο ,

$\hat{MDN}=\omega ,\hat{DNM}=90-\omega =\hat{ZGS}=\hat{GSP'}=\hat{GPT},PT\perp ON,PT//AB$

#6

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 21, 2025 1:25 pm Οριζοντίως.pngΤο άκρο της χορδής είναι ο βόρειος πόλος κύκλου . Τυχόντος σημείου

του κύκλου , ονομάζουμε το συμμετρικό ως προς και την τομή του κύκλου

με την . Δείξτε ότι το τμήμα είναι "οριζόντιο " .

Το τετράπλευρο NPSP'

είναι χαρταετός . Έτσι $\widehat {\omega _{}^{}} = \widehat {\theta _{}^{}}$ . Το

είναι μέσο στο -μικρό -τόξο χορδής

.

: οριζοντίως.png (27.43 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Η εφαπτομένη ευθεία του κύκλου στο

είναι παράλληλη στην

( γνωστή άσκηση υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο )

Το ζητούμενο, τώρα , προφανές.

Παρατήρηση :

Όπως και να το δει κάποιος η βάση της λύσης είναι το θεώρημα του νότιου πόλου ( που ο Θανάσης και καλώς )

θέλει να το «βλέπουμε» Θεώρημα του Νοτίου ή Βορείου πόλου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 21, 2025 1:25 pm Οριζοντίως.pngΤο άκρο της χορδής είναι ο βόρειος πόλος κύκλου . Τυχόντος σημείου

του κύκλου , ονομάζουμε το συμμετρικό ως προς και την τομή του κύκλου

με την . Δείξτε ότι το τμήμα είναι "οριζόντιο " .

Θα αποδείξουμε ότι αν $NM \bot PT$ ,τότε

είναι μέσον της

Είναι όμως προφανής η ισότητα των κόκκινων γωνιών,άρα QM//TS

κι επειδή

μέσον της

,το

είναι μέσον της

: Οριζοντίως.png (30.75 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές

#8

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 21, 2025 1:25 pm Οριζοντίως.pngΤο άκρο της χορδής είναι ο βόρειος πόλος κύκλου . Τυχόντος σημείου

του κύκλου , ονομάζουμε το συμμετρικό ως προς και την τομή του κύκλου

με την . Δείξτε ότι το τμήμα είναι "οριζόντιο " .

Αρκεί να δείξω ότι NP=NT.

: Οριζοντίως.png (19.27 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές

Από το εγγεγραμμένο NPST

κι επειδή η

είναι μεσοκάθετη της PP',

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα NP=NP'=NT.

Οριζοντίως

Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Re: Οριζοντίως

Μέλη σε σύνδεση