Δύο ηλικίες

#1

.
Το $\dfrac {1}{19}$ της ηλικίας της Άννας είναι ίσο με το $\dfrac {1}{17}$ της ηλικίας της Βάσως. Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι πάνω από

αλλά κάτω από 100

χρόνια. Πόσο χρονών είναι η καθεμία;

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας Γυμνασίου.)

Fotis34 · #2

Καλημέρα !

Έστω ότι η ηλικία της Άννας είναι

και της Βάσως

.

Δίνεται ότι:
$\displaystyle \frac{1}{19}A = \frac{1}{17}B$

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί:
$\displaystyle 17A = 19B$

Άρα:
$\displaystyle A = \frac{19}{17}B$

Για να είναι οι ηλικίες ακέραιοι αριθμοί, θέτουμε:
$\displaystyle B = 17k \quad \text{και} \quad A = 19k$

Το άθροισμα των ηλικιών είναι:
$\displaystyle A + B = 19k + 17k = 36k$

Δίνεται ότι:
$\displaystyle 40 < 36k < 100$

Διαιρούμε με 36:
$\displaystyle \frac{40}{36} < k < \frac{100}{36} \Rightarrow 1{,}11 < k < 2{,}77$

Άρα:
$\displaystyle k = 2$

Τότε:
$\displaystyle A = 19 \cdot 2 = 38,\quad B = 17 \cdot 2 = 34$

Επομένως :

Η Άννα είναι $\displaystyle{38}$ ετών και η Βάσω είναι $\displaystyle{34}$ ετών.

#3

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 29, 2025 9:36 am
Για να είναι οι ηλικίες ακέραιοι αριθμοί, θέτουμε:
$\displaystyle B = 17k \quad \text{και} \quad A = 19k$

αλλά νομίζω ότι το παραπάνω χρειάζεται κάποια μικρή αιτιολόγηση. Είναι μεν ορθότατο αλλά πιστεύω ότι δεν το βλέπει αμέσως ο μέσος μαθητής.

Fotis34 · #4

Λαμβάνω το σχόλιό σας.

Από τη σχέση
$\displaystyle A=\frac{19}{17}B$
και επειδή οι ηλικίες είναι ακέραιοι αριθμοί, το $\frac{19}{17}B$ πρέπει να είναι ακέραιος.
Αυτό συμβαίνει μόνο αν το

είναι πολλαπλάσιο του

.
Θέτουμε λοιπόν
$\displaystyle B=17k,\quad k\in\mathbb{N},$
οπότε
$\displaystyle A=\frac{19}{17}\cdot 17k=19k.$

#5

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 29, 2025 9:13 pm
και επειδή οι ηλικίες είναι ακέραιοι αριθμοί, το $\frac{19}{17}B$ πρέπει να είναι ακέραιος.
Αυτό συμβαίνει μόνο αν το είναι πολλαπλάσιο του .

Φώτη, για ξαναδές το γιατί δεν είναι επαρκής ο συλλογισμός σου: Δεν έχεις αιτιολογήσει γιατί αυτό συμβαίνει μόνο όταν το

είναι πολλαπλάσιο του

. Πράγματι αυτό αληθεύει στην συγκεκριμένη περίπτωαη, αλλά δεν το έχεις αιτιολογήσει.

Για παράδειγμα αν είχαμε ακέραιους $A,\,B$ με $A = \dfrac {190} {170}B$ (που είναι ίδιο με το παραπάνω), τι σε αποτρέπει και γιατί να πεις ότι αυτό συμβαίνει μόνο όταν το

είναι πολλαπλάσιο του 170

, που βέβαια δεν είναι σωστό; Άρα κάτι λείπει.

Ζητώ να πεις τι λείπει και να εξηγήσεις με βάση θεωρήματα γιατί είναι σωστός ο ισχυρισμός σου.

Fotis34 · #6

Σωστά!

Από τη σχέση
$\displaystyle A=\frac{19}{17}\cdot B$
συνεπάγεται ότι
$\displaystyle A=\frac{19B}{17},$
οπότε
$\displaystyle 17 \mid 19B.$

Λήμμα
Έστω $a,b,c \in \mathbb{Z}$ με a≠0

.
Αν
$\displaystyle a \mid bc \quad \text{και} \quad \gcd(a,b)=1,$
τότε
$\displaystyle a \mid c.$
Συνεπώς, υπάρχει ακέραιος $k \in \mathbb{Z}$ τέτοιος ώστε
$\displaystyle c = ka.$

Απόδειξη
Από την υπόθεση $a \mid bc$ υπάρχει ακέραιος $m \in \mathbb{Z}$ τέτοιος ώστε
$\displaystyle bc = am.$
Αν $\gcd(a,b)=1$ , από το λήμμα του Ευκλείδη έπεται ότι
$\displaystyle a \mid c.$
Άρα υπάρχει ακέραιος $k \in \mathbb{Z}$ τέτοιος ώστε
$\displaystyle c = ka.$
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Επιστροφή στην άσκηση

Από το
$\displaystyle 17 \mid 19B$
και επειδή
$\displaystyle \gcd(17,19)=1,$
εφαρμόζοντας το παραπάνω λήμμα προκύπτει ότι
$\displaystyle 17 \mid B.$
Άρα υπάρχει $k \in \mathbb{N}$ τέτοιος ώστε
$\displaystyle B = 17k.$

Αντικαθιστώντας στη σχέση
$\displaystyle A=\frac{19}{17}B$
παίρνουμε
$\displaystyle A=\frac{19}{17}\cdot 17k = 19k.$

Συνεπώς, οι ηλικίες είναι
$\displaystyle A = 19k \quad \text{και} \quad B = 17k.$

( Φυσικά αν είχαμε ακέραιους $\displaystyle{A,\,B}$ με $\displaystyle{A = \dfrac {190} {170}B}$ , αυτό , που είπα σε αυτήν την άσκηση, δεν ισχύει αφού $\displaystyle{gcd(170,190)≠1}$ )

( Ελπίζω να φαίνεται καθαρά, για οποιαδήποτε άλλη ασάφεια παρακαλώ να μου το επισημάνεται )

#7

Δύο ηλικίες

Δύο ηλικίες

Re: Δύο ηλικίες

Re: Δύο ηλικίες

Re: Δύο ηλικίες

Re: Δύο ηλικίες

Re: Δύο ηλικίες

Re: Δύο ηλικίες

Μέλη σε σύνδεση