Ορθή σε ημικύκλια

KARKAR · #1

: Ορθή σε ημικύκλια.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές

Σε σημείο

του μικρότερου από τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια του σχήματος , φέρουμε την εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει το μεγάλο στο σημείο

. Για ποια θέση του

είναι : $\widehat{SPB}=90^0$ ;

Σημείωση : Τα ημικύκλια έχουν ακτίνες r , R

και στο σχήμα είναι : r=3 , R=4

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 03, 2026 7:19 am Ορθή σε ημικύκλια.pngΣε σημείο του μικρότερου από τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια του σχήματος , φέρουμε την εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει το μεγάλο στο σημείο . Για ποια θέση του είναι : $\widehat{SPB}=90^0$ ;

Σημείωση : Τα ημικύκλια έχουν ακτίνες και στο σχήμα είναι : .

.

: ορθ σε ημ.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

.
Επειδή η $\widehat {P}$ είναι ορθή, σημαίνει ότι η προέκταση της

διέρχεται από το άκρο

του ημικυκλίου. Άρα, αφού είναι $OS \perp SA$ (λόγω εφαπτομένης), σημαίνει ότι το

βρίσκεται στο ημικύκλιο διαμέτρου

(κόκκινο). Πάμε τώρα ανάποδα: Σχεδιάζουμε το κόκκινο ημικύκλιο. Η τομή του με το μέσα ημικύκλιο μας δίνει το

, και η προέκταση της

μας δίνει το

. Και λοιπά.

Αν θέλουμε και το μήκος

(που μας δίνει και άλλον, ισοδύναμο, τρόπο προσδιορισμού του

) είναι $AS=\sqrt {AO^2-OS^2}=\sqrt {R^2-r^2}$

KARKAR · #3

: Ορθή.png (18.56 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές

Συμπληρωματικό ζητούμενο : Υπολογίστε το τμήμα

.

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 03, 2026 9:04 am Ορθή.pngΣυμπληρωματικό ζητούμενο : Υπολογίστε το τμήμα .

.

: ορθ σε ημ 2.png (24.59 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

.
Επειδή το

είναι το μέσον της χορδής

, έχουμε $SP=AS= \sqrt {R^2-r^2}$ . Επίσης, επειδή το

είναι το μέσον της

, έχουμε

. Άρα από το ορθογώνιο τρίγωνο PSB

έχουμε

$BS= \sqrt {SP^2+BP^2}=\sqrt {(R^2-r^2)+(2r)^2}=\boxed { \sqrt {R^2 + 3r^2}}$

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 03, 2026 7:19 am Ορθή σε ημικύκλια.pngΣε σημείο του μικρότερου από τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια του σχήματος , φέρουμε την εφαπτομένη ,

η οποία τέμνει το μεγάλο στο σημείο . Για ποια θέση του είναι : $\widehat{SPB}=90^0$ ;

Σημείωση : Τα ημικύκλια έχουν ακτίνες και στο σχήμα είναι : .

Επειδή $A\widehat PB=90^\circ,$ η

διέρχεται από το

και είναι $OS//=\dfrac{PB}{2}.$

: Ορθή σε ημικύκλιο.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

Άρα για την κατασκευή θεωρώ το σημείο

του μεγάλου ημικυκλίου ώστε BP=2r

και από το

φέρω

παράλληλη σε αυτήν που τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 03, 2026 9:04 am Ορθή.pngΣυμπληρωματικό ζητούμενο : Υπολογίστε το τμήμα .

Θεώρημα διαμέσων στο ASB:

$\displaystyle A{S^2} + S{B^2} = 2{r^2} + 2{R^2} \Leftrightarrow {R^2} - {r^2} + S{B^2} = 2{r^2} + 2{R^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{SB=\sqrt{R^2+3r^2}}$

Ορθή σε ημικύκλια

Ορθή σε ημικύκλια

Re: Ορθή σε ημικύκλια

Re: Ορθή σε ημικύκλια

Re: Ορθή σε ημικύκλια

Re: Ορθή σε ημικύκλια

Μέλη σε σύνδεση