Ολοκλήρωμα και θεωρία αριθμών

Γ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ · #1

Να υπολογιστούν οι φυσικοί αριθμοί $m,n \geq 2$ με m>n

για τους οποίους ισχύει:

$\displaystyle\int_{\frac{n}{m}}^{\frac{m}{n}}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx = \ln{\frac{m-1}{n-1}}$ .

#2

Είναι "γνωστό" ότι $\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \; dx = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2} \right) + C}$ . Για όσους δεν το θυμούνται (όπως π.χ. εγώ) αποδεικνύεται με την αντικατάσταση $x = \tan{u}$ και αρκετές πράξεις τις οποίες παραλείπω. (Φυσικά η ορθότητα μπορεί να ελεγχθεί παραγωγίζοντας το δεξί μέλος.)

Άρα $\displaystyle{ \ln\left(\frac{m/n + \sqrt{1 + m^2/n^2}}{n/m + \sqrt{1 + n^2/m^2}}\right) = \ln \left( \frac{m-1}{n-1} \right)}$ και άρα $\displaystyle{\frac{m^2 + m\sqrt{n^2 + m^2}}{n^2 + n\sqrt{n^2 + m^2}} = \frac{m-1}{n-1}}$ .

Άρα $m^2(n-1) - n^2(m-1) = (m-n)\sqrt{m^2 + n^2}$ και αφού $m \neq n$ πρέπει $\sqrt{m^2 + n^2} = mn - m - n$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο βρίσκουμε ότι m^2n^2 + 2mn = 2mn(m+n)

και άρα

. Άρα

και επειδή $m > n \geqslant 2$ φυσικοί αριθμοί πρέπει m=4,n=3

. Εύκολα ελέγχουμε ότι αυτό επαληθεύει την αρχική εξίσωση.

Ολοκλήρωμα και θεωρία αριθμών

Ολοκλήρωμα και θεωρία αριθμών

Re: Ολοκλήρωμα και θεωρία αριθμών

Μέλη σε σύνδεση