Ισότητα περικύκλων

KARKAR · #1

: Ισότητα περικύκλων.png (5.67 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Το τρίγωνο AOC

, έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο A(1,4)

και το σημείο

του

.

Το

είναι το μέσο του ύψους

. Βρείτε την τετμημένη του σημείου

, για την οποία οι περίκυκλοι

των τριγώνων AOC , MOC

, είναι ίσοι .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 9:21 am Ισότητα περικύκλων.pngΤο τρίγωνο , έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο και το σημείο του .

Το είναι το μέσο του ύψους . Βρείτε την τετμημένη του σημείου , για την οποία οι περίκυκλοι

των τριγώνων , είναι ίσοι .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 9:21 am Ισότητα περικύκλων.pngΤο τρίγωνο , έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο και το σημείο του .

Το είναι το μέσο του ύψους . Βρείτε την τετμημένη του σημείου , για την οποία οι περίκυκλοι

των τριγώνων , είναι ίσοι .

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AO \cdot AC = 8R \\ MO \cdot MC = 4R \\ \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {17} \sqrt {{c^2} - 2c + 17} = 2\sqrt 5 \sqrt {{c^2} - 2c + 5} \Leftrightarrow$ $\boxed{c=9}$ ή $\boxed{c=-7}$

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 9:21 am Ισότητα περικύκλων.pngΤο τρίγωνο , έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο και το σημείο του .

Το είναι το μέσο του ύψους . Βρείτε την τετμημένη του σημείου , για την οποία οι περίκυκλοι

των τριγώνων , είναι ίσοι .

Έστω

.Επειδή οι κύκλοι (O,M,B)

και

είναι ίσοι οι γωνίες OBM,MAO

θα είναι ίσες

Άρα $\triangle OBD \simeq \triangle MAD \Rightarrow \dfrac{4}{c-1}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow c=9$

Θεωρώντας τώρα E(-7,0)

συμμετρικό του C(9,0)

ως προς

προφανώς θα είναι

BMOE

εγγράψιμμο ,άρα μας κάνει και το σημείο

: Ισότητα περικύκλων.png (27.04 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 9:21 am Ισότητα περικύκλων.pngΤο τρίγωνο , έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο και το σημείο του .

Το είναι το μέσο του ύψους . Βρείτε την τετμημένη του σημείου , για την οποία οι περίκυκλοι

των τριγώνων , είναι ίσοι .

-

: Ισόρητα περ.png (42.14 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές

-
Το κέντρο

του περίκυκλου του AOC

είναι στην μεσοκάθετο του

άρα είναι της μορφής $B \left ( \dfrac {c}{2} , d\right )$ . H συνθήκη BO=BA

, ισοδύναμα BO^2=BA^2

, γράφεται

$\displaystyle{ \dfrac {c^2}{4}+ d^2= \left ( \dfrac {c}{2}-1\right )^2+(d-4)^2}$ από όπου, λύνοντας, $d= \dfrac {17-c}{8}$ δηλαδή

$B \left ( \dfrac {c}{2} , \dfrac {17-c}{8}\right )$

Εργαζόμενοι με ακριβώς τον ίδιο τρόπο με το τρίγωνο MOC

θα βρούμε ότι το κέντρο του περίκυκλου είναι το

$E \left ( \dfrac {c}{2} , \dfrac {5-c}{4}\right )$

Για να είναι οι ακτίνες των δύο περίκυκλων ίσες ισοδυναμεί με την BC=EC

. Δηλαδή τα $B,\,E$ είτε είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα των

(αριστερό σχήμα), ή συμπίπτουν (δεξιό σχήμα).

Στη πρώτη περίπτωση έχουμε $\dfrac {17-c}{8}= - \dfrac {5-c}{4}$ και στην δεύτερη, $\dfrac {17-c}{8}= \dfrac {5-c}{4}$

Άρα, αντίστοιχα, $\boxed {c=9}$ και $\boxed {c=-7}$

#6

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 23, 2026 9:21 am Ισότητα περικύκλων.pngΤο τρίγωνο , έχει κορυφές την αρχή των αξόνων , το σημείο και το σημείο του .

Το είναι το μέσο του ύψους . Βρείτε την τετμημένη του σημείου , για την οποία οι περίκυκλοι

των τριγώνων , είναι ίσοι .

Ας δούμε την περίπτωση του σχήματος που δόθηκε , δηλαδή c > 0

Ας είναι $A'\left( {1, - 4} \right)$ το συμμετρικό του

ως προς το

. Τότε οι κύκλοι $L \to \left( {A,O,C} \right)$ και $K \to \left( {M,O,C} \right)$ είναι ίσοι .

Αλλά ο $K \to \left( {M,O,C} \right)$ ταυτίζεται με τον $\left( {A',O,C} \right)$ . Επειδή το τετράπλευρο , $\left( {M,O,A',C} \right)$ είναι εγγράψιμο

αρκεί να βρούμε την εξίσωση του κύκλου $\left( {A',O,M} \right)$ .

: ισότητα περικύκλων.png (28.92 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές

Η οικογένεια των κύκλων που διέρχονται από τα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ έχει εξίσωση , $x\left( {x - 1} \right) + y\left( {y - 2} \right) + k\left( {2x - y} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)$

Κι αυτό γιατί η $OM:\,\,2x - y = 0$ και η πιο πάνω εξίσωση , που εύκολα δείχνουμε ότι είναι κύκλος , για κάθε

πραγματικό

επαληθεύεται από τις συντεταγμένες των $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ .

Επειδή όμως επαληθεύεται και από το $A'\left( {1, - 4} \right)$ , προκύπτει , k = - 4

και άρα η $\left( 1 \right)$ γίνεται :

$x\left( {x - 1} \right) + y\left( {y - 2} \right) - 4\left( {2x - y} \right) = 0$ που για y = 0

δίδει , ${x^2} - 9x = 0$

Έτσι ο κύκλος εκτός από την αρχή των αξόνων διέρχεται και από το $\boxed{C\left( {9,0} \right)}$ .

Ισότητα περικύκλων

Ισότητα περικύκλων

Re: Ισότητα περικύκλων

Re: Ισότητα περικύκλων

Re: Ισότητα περικύκλων

Re: Ισότητα περικύκλων

Re: Ισότητα περικύκλων

Μέλη σε σύνδεση