Από εξίσωση σε διαδοχικούς

Al.Koutsouridis · #1

Οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί a,b

είναι τέτοιοι, ώστε a^3-b^4=ab^2

. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός

είναι γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακέραιων.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 03, 2026 7:39 pm
Οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί είναι τέτοιοι, ώστε . Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός είναι γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακέραιων.

.
Είναι

, οπότε ως δευτεροβάθμια ως προς b^2

έχουμε $b^2= \dfrac {1}{2} (-a+ \sqrt {a^2+4a^3})$ (*).

Άρα η υπόριζη ποσάτητα, δηλαδή η a^2(4a+1)

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Έπεται ότι ο παράγοντάς της 4a+1

πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, εννοείται περιττού αριθμού, αφού και ο ίδιος είναι περιττός. Δηλαδή ισχύει

4a+1=(2c+1)^2

από όπου

(**). Αυτό πίσω στην (*) δίνει

$b^2= \dfrac {1}{2} (-a+ \sqrt {a^2(2c+1)^2}) = \dfrac {1}{2} (-a+ a(2c+1))=ac=^{(**)} c^2(c+1)$ .

Επειδή το αριστερό μέλος είναι τέλειο τετράγωνο, πρέπει στο δεξί μέλος να ισχύει c+1=d^2

(***) για κάποιο

. ^

Οπότε b^2= c^2d^2

και άρα $b=cd=^{(***)} (d^2-1)d= (d-1)d(d+1)$ , δηλαδή γινόμενο τριών διαδοχικών αριθμών, όπως θέλαμε.

Αν θέλουμε και τις τιμές των a,b

τα παραπάνω δίνουν $\boxed {a=(d^2-1)d^2, \, b= (d^2-1)d}$ , που επαληθεύουν την αρχική.

Από εξίσωση σε διαδοχικούς

Από εξίσωση σε διαδοχικούς

Re: Από εξίσωση σε διαδοχικούς

Μέλη σε σύνδεση