Διπλάσια και τριπλάσια

KARKAR · #1

: Διπλάσια και τριπλάσια.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Στο τρίγωνο ABC

το ύψος

και η διάμεσος

, σχηματίζουν γωνία $\theta$ .

Αν : $\hat{B}=3\theta$ και : $\hat{C}=2\theta$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AM}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 10, 2026 10:23 am Διπλάσια και τριπλάσια.pngΣτο τρίγωνο το ύψος και η διάμεσος , σχηματίζουν γωνία $\theta$ .

Αν : $\hat{B}=3\theta$ και : $\hat{C}=2\theta$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AM}$ .

Εύκολα οι μοβ γωνίες είναι ίσες με $90^\circ-3\theta.$ Με νόμο ημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα ABM, AMC

έχω:

: Διπλάσια και τριπλάσια.png (13.15 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a}{{2\cos 2\theta }} = \dfrac{c}{{\cos \theta }} \\ \\ \dfrac{a}{{2\cos 3\theta }} = \dfrac{b}{{\cos \theta }} = \dfrac{m}{{\sin 2\theta }} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{a}{c} = \dfrac{{2\cos 2\theta }}{{\cos \theta }} \\ \\ \dfrac{a}{b} = \dfrac{{2cos3\theta }}{{\cos \theta }},\dfrac{b}{m} = \dfrac{1}{{2\sin \theta }} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{b}{c} = \dfrac{{\cos 2\theta }}{{\cos 3\theta }} \\ \\ \dfrac{b}{m} = \dfrac{1}{{2\sin \theta }} \\ \end{array} \right.$

Αλλά στο ABC

είναι $\displaystyle \frac{b}{c} = \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin 2\theta }},$ οπότε $\displaystyle \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin 2\theta }} = \frac{{\cos 2\theta }}{{\cos 3\theta }} \Leftrightarrow \sin 6\theta = \sin 4\theta,$ απ' όπου $\theta=18^\circ.$

Άρα, $\boxed{\frac{b}{m} = \frac{1}{{2\sin 18^\circ }} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \phi }$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 10, 2026 10:23 am Διπλάσια και τριπλάσια.pngΣτο τρίγωνο το ύψος και η διάμεσος , σχηματίζουν γωνία $\theta$ .

Αν : $\hat{B}=3\theta$ και : $\hat{C}=2\theta$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AM}$ .

Για τις γωνίες $\hat{BAD}=90-3\theta ,\hat{AMB}=90-\theta ,\hat{MAC}=90-3\theta$

Οπότε η

είναι η Α-συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο ABC

, κόκκινη γραμμή

Η μπλέ γραμμή ειναι η διχοτόμος της γωνίας Α

Αρα $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow DC=\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+c^{2}},(1), DC=bcosC\Rightarrow DC=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} ,(2), (1) ,(2)\Rightarrow a^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow \hat{A}=90,B+C=90\Leftrightarrow 5\theta =90\Leftrightarrow \theta =18^{0},\hat{C}=36^{0},\hat{B}=54^{0}$

Από τον τύπο του Αρχιμήδη $\lambda _{2\nu }=\sqrt{2R^{2}-R\sqrt{4R^{2}-\lambda _{\nu }^{2}}}$

και $\lambda _{10}=\dfrac{R}{\Phi }=\dfrac{a}{2\Phi },c=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\sqrt{5-\sqrt{5}}, \dfrac{2b}{a} =\sqrt{\Phi +1}= \Phi$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Φεβ 10, 2026 10:23 am Διπλάσια και τριπλάσια.pngΣτο τρίγωνο το ύψος και η διάμεσος , σχηματίζουν γωνία $\theta$ .

Αν : $\hat{B}=3\theta$ και : $\hat{C}=2\theta$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AM}$ .

Με $BZ,CN \bot AM$ οι γωνίες $\theta$ προφανώς είναι ίσες.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ABD,ANC

είναι $\angle \phi +3 \theta =90^0$ και $\angle \omega +3 \theta =90^0$ ,

άρα $\angle \phi =\angle \omega$

Έτσι $\angle ACS=90^0 \Rightarrow AS$ διάμετρος του κύκλου (A,B,C)

και προφανώς ACSB

παραλ/μμο

με μια ορθή γωνία άρα ορθογώνιο,συνεπώς $\angle \omega =2 \theta$

Τότε όμως $5 \theta =90^0 \Rightarrow \theta =18^0 \Rightarrow \angle ACB=36^0$

Από το γνωστό $2cos36^0= \Phi \Rightarrow \dfrac{2AC}{a}= \Phi \Rightarrow \dfrac{AC}{ \dfrac{a}{2} }= \Phi \Rightarrow \dfrac{AC}{AM} = \Phi$

: Διπλάσια και τριπλάσια.png (46.26 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

Διπλάσια και τριπλάσια

Διπλάσια και τριπλάσια

Re: Διπλάσια και τριπλάσια

Re: Διπλάσια και τριπλάσια

Re: Διπλάσια και τριπλάσια

Μέλη σε σύνδεση