Το πιο κοντινό

KARKAR · #1

: Το πιο κοντινό.png (12.9 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με κάθετες πλευρές : AB=8 , AC=6

, θεωρούμε σημείο

της

και σημείο

στην προέκταση της

, τέτοια ώστε : AS=BP

. Βρείτε την ελάχιστη απόσταση του

από το μέσο

του

.

abgd · #2

: elahisto.png (27.11 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Θεωρούμε στην

σημείο

τέτοιο ώστε BT=2

και στην προέκταση της

σημείο

με

Φέρουμε το τμήμα

το οποίο τέμνει την

στο

και την

στο

.

Θα δείξουμε ότι το

είναι μέσο της

, για οποιαδήποτε θέση των P,S

για τις οποίες BP=AS

και ότι το

είναι μέσο της

.

Έτσι, το μέσο του

κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα

και συνεπώς η ελάχιστη τιμή της

θα είναι η απόσταση του

από τη

, δηλαδή η

.

Είναι TMK

διατέμνουσα στο τρίγωνο PCS

. Από Μενέλαο $\dfrac{TP}{TC}\cdot\dfrac{CK}{KS}\cdot\dfrac{SM}{MP}=1$ .

Όμως TP=KS

και

οπότε $\boxed{SM=MP}$

Είναι KNT

διατέμνουσα στο τρίγωνο ABC

. Από Μενέλαο $\dfrac{KA}{KC}\cdot\dfrac{CT}{TB}\cdot\dfrac{BN}{NA}=1$ .

Όμως KA=TB=2

και

οπότε $\boxed{BN=NA}$ .

Για τον υπολογισμό της ελάχιστης τιμής του

βρίσκουμε την τιμή του

από την ομοιότητα των τριγώνων CDK, NAK

$\dfrac{CD}{NA}=\dfrac{CK}{KN} \Rightarrow \dfrac{CD}{4}=\dfrac{8}{\sqrt{20}}\Rightarrow \boxed{CD= \dfrac{16\sqrt{5}}{5}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 16, 2026 1:16 pm Το πιο κοντινό.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , θεωρούμε σημείο της και σημείο

στην προέκταση της , τέτοια ώστε : . Βρείτε την ελάχιστη απόσταση του από το μέσο του .

Εστω $PB=AS=x,MT//AC,CT=5-\dfrac{x}{2},MT=3+\dfrac{x}{2}, MC^{2} =MT^{2}+TC^{2}-2MT.TC.cos\hat{CTM}\Rightarrow x^{2}-4x+260-5y^{2}=0,y^{2}=CM^{2}, \Delta \geq 0\Rightarrow y_{min} =\dfrac{16\sqrt{5}}{5},x_{min}=2$

KARKAR · #4

Οι δύο λύσεις γεωμετρική η πρώτη , αλγεβρική η δεύτερη , είναι υπέροχες . Δεν σας σας κρύβω ότι ζήλεψα
περισσότερο την αλγεβρική και ας μην αποκαλύπτει την καθετότητα των CM , SP

#5

Καλημέρα σε όλους. Δίνω και μιαν απάντηση με συντεταγμένες, επειδή τα δεδομένα (παρα)είναι βολικά.

: 17-02-2026 Γεωμετρία.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

$\displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {8,0} \right),\;C\left( {0,6} \right),\;\;S\left( {0, - a} \right),\;a > 0$

$\displaystyle BC:y = - \frac{3}{4}x + 6,\;\;P\left( {t,\; - \frac{{3t}}{4} + 6} \right),\;0 < t < 8$

$\displaystyle AS = BP \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {t - 8} \right)^2} + {\left( { - \frac{{3t}}{4} + 6} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = 25{\left( {\frac{t}{4} - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a = 5\left| {\frac{t}{4} - 2} \right|$

και αφού $\displaystyle 0 < t < 8$ , θα είναι $\displaystyle a = 5\left( {2 - \frac{t}{4}} \right) \Leftrightarrow 4a = 40 - 5t \Leftrightarrow t = 8 - \frac{{4a}}{5},\;\;0 < a < 10$

Τότε $\displaystyle S\left( {0, - a} \right),\;\;P\left( {8 - \frac{{4a}}{5},\;\frac{{3a}}{5}} \right) \Rightarrow M\left( {4 - \frac{{2a}}{5},\; - \frac{a}{5}} \right)$ , άρα κινείται σε ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y = \frac{x}{2} - 2$ .

Ελάχιστη απόσταση έχουμε όταν $\displaystyle CM \bot SP$ με τιμή $\displaystyle d = \frac{{\left| {\frac{1}{2} \cdot 0 - 1 \cdot 6 - 2} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{4} + 1} }} = \frac{{16\sqrt 5 }}{5}$

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 16, 2026 1:16 pm Το πιο κοντινό.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές : , θεωρούμε σημείο της και σημείο

στην προέκταση της , τέτοια ώστε : . Βρείτε την ελάχιστη απόσταση του από το μέσο του .

Θέτω

και έστω

το σημείο τομής των SP, AB.

Παίρνω δύο Μενέλαους διαδοχικά

στα τρίγωνα ABC, CSP

με αντίστοιχες διατέμνουσες $\displaystyle \overline {SNP} ,\overline {ANB}.$

: Το πιο κοντινό.png (9.43 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{{10 - x}}{x} \cdot \frac{{NB}}{{NA}} \cdot \frac{x}{{6 + x}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10 - x}}{{6 + x}} = \frac{{NA}}{{NB}} \Leftrightarrow \frac{{10 - x}}{{16}} = \frac{{NA}}{8} \Leftrightarrow NA = \frac{{10 - x}}{2}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{6}{x} \cdot \frac{{SN}}{{NP}} \cdot \frac{x}{{10}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{NP}}{{NS}} = \frac{3}{5},$ οπότε αν θέσω NP=3y

θα είναι

Π.Θ στο

$\displaystyle 25{y^2} = {x^2} + \frac{{{{(10 - x)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{5{x^2} - 20x + 100}}{{100}}$ και με τον τύπο της διαμέσου

στο CSP

είναι, $\displaystyle C{M^2} = \frac{{2{{(6 + x)}^2} + 2{{(10 - x)}^2} - 64{y^2}}}{4}.$ Αντικαθιστώ το y^2

και παίρνω τελικά:

$\displaystyle CM = \sqrt {\frac{{{x^2} - 4x + 260}}{5}} ,$ που για $\boxed{x=2}$ έχει ελάχιστη τιμή $\boxed{CM_{\rm min}=\frac{16}{\sqrt 5}}$

Το πιο κοντινό

Το πιο κοντινό

Re: Το πιο κοντινό

Re: Το πιο κοντινό

Re: Το πιο κοντινό

Re: Το πιο κοντινό

Re: Το πιο κοντινό

Μέλη σε σύνδεση