Ίσο με την διάκεντρο

KARKAR · #1

: Ίσο με την διάκεντρο.png (22.27 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

$\bigstar$ Οι κύκλοι (O,r)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο

. Εντοπίστε

σημεία S , P

των δύο κύκλων , τέτοια ώστε : $\widehat{STP}=90^0$ και : SP=OK

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 12, 2026 9:08 am Ίσο με την διάκεντρο.png $\bigstar$ Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Εντοπίστε

σημεία των δύο κύκλων , τέτοια ώστε : $\widehat{STP}=90^0$ και : .

Προφανώς, η μπλε και η πράσινη γωνία είναι συμπληρωματικές, οπότε οι $S\widehat OK, O\widehat KP$ είναι παραπληρωματικές.

Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα OST, KTP

και Πυθαγόρειo στο STP

είναι:

: Ίσο με τη διάκεντρο.Κ.png (27.79 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} S{T^2} = 2{r^2} + 2{r^2}\cos \theta \hfill \\ P{T^2} = 2{R^2} - 2{R^2}\cos \theta \hfill \\ S{T^2} + P{T^2} = {(R + r)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {R^2} + {r^2} - 2({R^2} - {r^2})\cos \theta = 2Rr \Leftrightarrow$ $\boxed{\cos \theta = \frac{{R - r}}{{2(R + r)}}}$

Γνωρίζοντας τη γωνία $\theta$ τα σημεία S, P

εντοπίζονται εύκολα. Αν οι κύκλοι είναι ίσοι, η

είναι η κοινή εξωτερική εφαπτομένη.

KARKAR · #3

: Ίσο με την διάκεντρο.png (28.96 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Αλλιώς : Λόγω της παραλληλίας των OS , KP

, το

είναι ισοσκελές τραπέζιο . Αν λοιπόν γράψω το ημικύκλιο

διαμέτρου

και θεωρήσω σ' αυτόν σημείο

, τέτοιο ώστε $KQ=\dfrac{R-r}{2}$ , η προέκταση του

μου δίνει το

και η παράλληλη προς την

από το

, μου δίνει το

.

Ίσο με την διάκεντρο

Ίσο με την διάκεντρο

Re: Ίσο με την διάκεντρο

Re: Ίσο με την διάκεντρο

Μέλη σε σύνδεση