Δεινόν το αθροίζειν

KARKAR · #1

Για τον θετικό ακέραιο n , (n>5)

, ορίζουμε το άθροισμα : $S=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{15} +... +\dfrac{1}{n^2-1}$ .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του

, για την οποία είναι : $S>\dfrac{1}{3}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 20, 2026 8:59 am Για τον θετικό ακέραιο , ορίζουμε το άθροισμα : $S=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{15} +... +sum(1/(n^2-1), n = 3 .. N)$ .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του , για την οποία είναι : $S>\dfrac{1}{3}$ .

Από το $\dfrac{1}{n^2-1} = \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{n-1}- \dfrac{1}{n+1}\right )$ βλέπουμε ότι το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό (τέτοια αθροίσματα, συμεπριλαμβανομένου και του παρόντος) έχουν εμφανιστεί πολλές φορές στο φόρουμ. Θα μείνουν μόνο λίγοι πρώτοι και λίγοι τελευταίοι όροι. Στο τέλος θα είναι

$S= \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n+1} \right ) = \dfrac{5}{12}- \dfrac{1}{2n}- \dfrac{1}{2(n+1)}$

Με δοκιμές (αλλά και αλλιώς, με λύση ανίσωσης) διαπιστώνουμε ότι για n=11

είναι $S= \dfrac{29}{88}< \dfrac{1}{3}$ ενώ για n=12

είναι $S= \dfrac{35}{104}>\dfrac{1}{3}$ .

Άρα η ζητούμενη ελάχιστη τιμή είναι $\boxed {n=12}$

Δεινόν το αθροίζειν

Δεινόν το αθροίζειν

Re: Δεινόν το αθροίζειν

Μέλη σε σύνδεση