Εμβαδόν

mick7 · #1

Να βρεθεί το ρμβαδόν της περιοχής που περίκλειεται απο την καμπυλη $x^{2}+y^{2}=\left | x\right |+\left | y\right |$ .

#2

mick7 έγραψε: Δευ Μαρ 23, 2026 4:26 pm Να βρεθεί το ρμβαδόν της περιοχής που περίκλειεται απο την καμπυλη $x^{2}+y^{2}=\left | x\right |+\left | y\right |$ .

: Εμβαδόν χωρίου.png (29.01 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

.
Λύση με σχολικές γνώσεις, αν και η άσκηση είναι στον φάκελο των Α.Ε.Ι.

Εργαζόμαστε στο πρώτο τεταρτημόριο. Εδώ η καμπύλη γράφεται x^2+y^2=x+y

, ισοδύναμα $\left( x-\dfrac {1}{2} \right)^2+ \left( y-\dfrac {1}{2} \right)^2= \dfrac {1}{2}$ . Είναι μέρος κύκλου που διέρχεται από τα $A(0,1), \, B(1,0)$ και το κέντρο του είναι το $\left( \dfrac {1}{2} ,\, \dfrac {1}{2} \right)$ .

Δεδομένου ότι το

περιέχει το σημείο $\left( \dfrac {1}{2} ,\, \dfrac {1}{2} \right)$ έπεται ότι η καμπύλη είναι ημικύκλιο διαμέτρου

μήκους $\sqrt 2$ . Άρα το εμβαδόν του χωρίου στο πρώτο τεραρτημόριο είναι

$E_1+E_2= \dfrac {1}{2}\cdot 1\cdot 1+ \dfrac {\pi}{2} \left (\dfrac {\sqrt 2}{2} \right)^2= \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\pi}{4}$ .

Λόγω συμμετρίας το ζητούμενο εμβαδόν είναι $4\left ( \dfrac {1}{2}+ \dfrac {\pi}{4}\right )= \boxed {2+\pi}$

Εμβαδόν

Εμβαδόν

Re: Εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση