Ακέραιο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ακέραιο εμβαδόν.png (27.32 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές

Στο εσωτερικό του κύκλου ( O , 4)

, βρίσκεται σημείο

, τέτοιο ώστε : OK=2

. Με ακτίνα r , (r<2)

,

γράφω κύκλο (K , r)

, τέτοιον ώστε αν από τυχόν σημείο

του

φέρω τις εφαπτόμενες προς τον (K)

χορδές

και

, τότε και η

να εφάπτεται του (K)

. Υπολογίστε το (ABC)

, αν είναι ακέραιο .

abgd · #2

Δίνω μια προσέγγιση στο παραπάνω, η οποία πιθανότατα είναι διαφορετική από αυτή που είχε υπόψιν του ο θεματοδότης, αλλά
περιέχει αρκετά ενδιαφέροντα ενδιάμεσα βήματα!

Λήμμα 1. Το αντίστροφο του Θεωρήματος του Euler....

Euler Theorem.ggb: (34.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 2 φορές

: Euler Theorem.png (167.24 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Λήμμα 2.

Έστω ABC

τρίγωνο και (I,r)

o εγγεγραμμένος του κύκλος. Αν x,y,z

τα εφαπτόμενα τμήματα στον (I,r)

από τις κορυφές του τριγώνου A, B, C

αντίστοιχα.
Το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με $\dfrac{xyz}{r}$

Απόδειξη.

Είναι $x+y=c, \ \ y+z=a, \ \ z+x=b$ . Οπότε $x+y+z=\tau$ , όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

$(ABC)=\sqrt{\tau(\tau-a)(\tau-b)(\tau-c)}=\tau\cdot r\Leftrightarrow \sqrt{\tau(xyz}=\tau\cdot r\Leftrightarrow xyz=t\cdot r^2 \Leftrightarrow \\ \boxed{(ABC)=\dfrac{xyz}{r}}$

Ελάχιστο - Μέγιστο τρίγωνο.

Έστω οι κύκλοι $(O,R), \ \ (I,r)$ με $OI^2=R^2-2Rr, \ \ R>2r$ . Από όλα τα τρίγωνα ABC

, τα οποία έχουν περιγεγραμμένο κύκλο τον (O,R)

και εγγεγραμμένο τον (I,r)

το τρίγωνο A'B'C'

έχει το ελάχιστο εμβαδόν και το τρίγωνο A''B''C''

έχει το μέγιστο εμβαδόν.

Elaxisto Megisto Trigono.ggb: (29.33 KiB) Καμία μεταφόρτωση ακόμη

: Elaxisto Megisto Trigono.png (68.92 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Απόδειξη.

Εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα στο OAI

είναι

$R-OI\leq AI \leq R+OI \Leftrightarrow A'I \leq AI \leq A''I \Leftrightarrow \sqrt{x'^2+r^2}\leq \sqrt{x^2+r^2} \leq \sqrt{x''^2+r^2} \Leftrightarrow$

$\boxed{x' \leq x \leq x'' \bf (1)}$ ,

όπου $x, \ \ x' \ \ x''$ τα εφαπτόμενα τμήματα στον (I,r)

από τα $A, \ \ A' \ \ A''$ αντίστοιχα.

Ομοίως

$\boxed{y' \leq y \leq y'' \bf (2)}$ ,

όπου $y, \ \ y' \ \ y''$ τα εφαπτόμενα τμήματα στον (I,r)

από τα $B, \ \ B' \ \ B''$ αντίστοιχα.

και

$\boxed{z' \leq z \leq z'' \bf (3)}$ ,

όπου $z, \ \ z' \ \ z''$ τα εφαπτόμενα τμήματα στον (I,r)

από τα $C, \ \ C' \ \ C''$ αντίστοιχα.

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις $\bf{ (1), (2), (3)}$ και λαμβάνοντας υπόψιν το Λήμμα 2 έχουμε το ζητούμενο:

$(A'B'C') \leq (ABC) \leq (A''B''C'')$

Μπορούμε να δείξουμε εύκολα ότι:

$\boxed{(A'B'C')= \dfrac{\left(R^2-(\epsilon-r)^2\right)\sqrt{(R-\epsilon)^2-r^2}}{r}}$

$\boxed{(A''B''C'')= \dfrac{\left(R^2-(\epsilon+r)^2\right)\sqrt{(R+\epsilon)^2-r^2}}{r}}$

όπου $\epsilon$ η απόσταση Euler:

$\epsilon =\sqrt{R^2-2Rr}$
...........................................................................................................................

Εφαρμόζοντας το τελευταίο αποτέλεσμα στην άσκηση του Θανάση βρίσκουμε ότι:

$\dfrac{21\sqrt{7}}{4} \leq (ABC) \leq \dfrac{15\sqrt{15}}{4}$

Εφόσον (ABC)

ακέραιος, θα είναι: (ABC)=14

.

KARKAR · #3

Η ιδέα είναι αυτή . Απλά για την ιστορία είναι : $r=\dfrac{3}{2}$ . Υποθέτω ότι υπάρχει

και άλλος τρόπος εύρεσης των ακροτάτων του (ABC)

...

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 05, 2026 9:13 am Ακέραιο εμβαδόν.pngΣτο εσωτερικό του κύκλου , βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : . Με ακτίνα ,

γράφω κύκλο , τέτοιον ώστε αν από τυχόν σημείο του φέρω τις εφαπτόμενες προς τον

χορδές και , τότε και η να εφάπτεται του . Υπολογίστε το , αν είναι ακέραιο .

$\displaystyle O{K^2} = {R^2} - 2Rr \Leftrightarrow 4 = 16 - 8r \Leftrightarrow$ $\boxed{r=\frac{3}{2}}$

Οι ακρότατες τιμές του εμβαδού

επιτυγχάνονται όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή τα σημεία A, K, D, O

είναι συνευθειακά. Στο σχήμα τα τρίγωνα ABC, AB'C'

δίνουν αυτές τις ακρότατες θέσεις. Εύκολα βρίσκω, AK=2,

$AD=AK+r=\dfrac{7}{2},$ και με Π.Θ στο BDO,

$a=3\sqrt 7.$ ομοίως, $OD'=\dfrac{7}{2}, AD'=\dfrac{15}{2}$ και $a'=\sqrt{15}.$

: Ακέραιο εμβαδόν.Κb.png (28.83 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές

$\displaystyle {S_{\min }} = (ABC) = \frac{1}{2}3\sqrt 7 \cdot \frac{7}{2} = \frac{{21\sqrt 7 }}{4} \simeq 13,89$ KAI $\displaystyle {S_{\max }} = (AB'C') = \frac{1}{2}\sqrt {15} \cdot \frac{{15}}{2} = \frac{{15\sqrt {15} }}{4} \simeq 14,52$

Επειδή όμως το ζητούμενο εμβαδόν είναι ακέραιος αριθμός, θα είναι $\boxed{S=14}$

Ακέραιο εμβαδόν

Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Re: Ακέραιο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση