Μισή διάμεσος

KARKAR · #1

: Μισή διάμεσος.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Με βάση το τμήμα BC=a

, κατασκευάστε τρίγωνο ABC

στο οποίο η διάμεσος

να είναι διπλάσια από την διάμεσο

. Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 9:11 pm Μισή διάμεσος.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε τρίγωνο στο οποίο η διάμεσος

να είναι διπλάσια από την διάμεσο . Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;

: μισή διάμ.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

.
Μπορούμε με οποιαδήποτε αναλογία στις διαμέσους.

Κατασκευάζουμε τυχαίο τρίγωνο GBC

και έστω $BC=a, \, GB=2p, GC=2q$ (αν θέλουμε η μία διάμεσος να είναι διπλάσια της άλλης, απλά φροντίζουμε να είναι q=2p

).

Προεκτείνουμε τώρα τις BG, CG

κατά μήκη

. Παρατηρούμε ότι από Θαλή η

είναι παράλληλη της

και

. Προεκτείνουμε τις BN, CM

μέχρι να τμηθούν στο

. Ισχυρίζομαι ότι το ABC

έχει τις ζητούμενες ιδιότητες, και συγκεκριμένα ότι οι BM, CN

είναι διάμεσοι. Πράγματι, από την παραλληλία είναι

$\dfrac {AN}{AB}= \dfrac {NM}{BC}= \dfrac {1}{2}$ , δηλαδή το

είναι το μέσον της

, και όμοια το

είναι το μέσον της

. Τελειώσαμε.

#3

[quote=KARKAR post_id=382448 time=1780251078 user_id=3451]
Μισή διάμεσος.pngΜε βάση το τμήμα BC=a

, κατασκευάστε τρίγωνο ABC

στο οποίο η διάμεσος

να είναι διπλάσια από την διάμεσο

. Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;
[/quote]
Αρκεί να προσδιοριστεί το βαρύκεντρο

του $\vartriangle ABC$ .

Αν

το μήκος της μικρής διαμέσου και Apoll

ο κύκλος του Απολλώνιου για κάθε σημείο

να ισχύει

$\dfrac{{FB}}{{FC}} = \dfrac{1}{2}$ , η τομές του κύκλου Apoll

με τον κύκλο, $\Omega$ κέντρου

κι ακτίνας $\dfrac{{2m}}{3}$ μας ορίζουν βαρύκεντρο

.
.
[attachment=0]Μισή διάμεσος_katask.png[/attachment]
.
Στην περίπτωση που οι δυο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά δεν ορίζεται $\vartriangle ABC$ ,

Αν οι κύκλοι έχουν 2 τομές το $\vartriangle ABC$ «φαίνεται» αμβλυγώνιο στο

Θα τω δω όμως αύριο προσεκτικά

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 9:11 pm Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;

: μισή διάμ 2.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές

.
Ξεχάστηκε.

Το τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ορθογώνιο στο

διότι από την ιδιότητα της διαμέσου προς την υποτείνουσα θα είχαμε

CN=2BM=AC > CN

. Άτοπο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 9:11 pm Μισή διάμεσος.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε τρίγωνο στο οποίο η διάμεσος

να είναι διπλάσια από την διάμεσο . Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;

Κατασκευάζουμε ισοσκελές τρίγωνο CDQ

με

κι έστω

μέσον της

,

συμμετρικό του

ως προς

και

μέσον της

Το ζητούμενο τρίγωνο είναι το ABC

.Πράγματι

Είναι BA=2BN=//CD

άρα

είναι παραλ/μμα και NDCB

ισοσκελές

τραπέζιο άρα AL=CN=BD=2BM

Αν το $\triangle ABC$ ήταν ορθογώνιο ,τότε $b=2 \mu _{b}= \mu _{c}$ άτοπο αφού $b> \mu _{c}$ ή αλλιώς

$4b^2=4 \mu ^2_{c} =2b^2+2a^2-c^2 \Rightarrow 2b^2=2a^2-c^2<2a^2 \Rightarrow b<a$ άτοπο

: Μισή διάμεσος.png (24.54 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

KARKAR · #6

Μια αντιμετώπιση του δεύτερου ερωτήματος : Έχουμε : $m_{c}=2m_{b}$ , δηλαδή : $m^2_{c}=4m^2_{b}$

ή ( θ. διαμέσων ) : $a^2+c^2=b^2-\dfrac{c^2}{2}<b^2$ , οπότε τελικά η γωνία $\widehat{B}$ είναι αμβλεία .

#7

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 9:11 pm Μισή διάμεσος.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε τρίγωνο στο οποίο η διάμεσος

να είναι διπλάσια από την διάμεσο . Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;

Για το 2ο ερώτημα.
.

: Μισή διάμεσος_kataskebi_b er.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές

.
Έστω ότι $\widehat {CBA} = 90^\circ$ . Τότε , $BM = \dfrac{1}{2}AC \Rightarrow 2BM = AC \Rightarrow CN = CA$ , μαθηματικό αδιέξοδο γιατί :

Το

είναι ο πόδσς της καθέτου από το

και οι $CN\,\,,\,\,CA$ πλάγιες . Οπότε : $NB < AB \Rightarrow CN < CA$

#8

KARKAR έγραψε: Κυρ Μάιος 31, 2026 9:11 pm Μισή διάμεσος.pngΜε βάση το τμήμα , κατασκευάστε τρίγωνο στο οποίο η διάμεσος

να είναι διπλάσια από την διάμεσο . Μπορεί το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ;

: μισή διάμ 3.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές

.
Είδαμε στο ποστ #4 ότι δεν μπορεί το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο όταν η μεγάλη διάμεσος ξεκινά από την κορυφή

της ορθής γωνίας.

Ας δούμε τώρα το ίδιο συμπέρασμα όταν οι δύο διάμεσοι ξεκινούν από τις άλλες κορυφές, όχι την

. Έστω λοιπόν

ορθή και

.

Πρώτα απ ' όλα, από τα ορθογώνια τρίγωνα $BMA, \, BCN$ έπεται ότι οι γωνίες $\widehat {A_1},\, \widehat {N_2}$ είναι οξείες. Επίσης έχουμε

$NG= \dfrac {1}{3} NC = \dfrac {1}{3} (2AM)= \dfrac {2}{3} am= AG$ ,

Άρα το τρίγωνο GNA

είναι ισοσκελές, και $\widehat {A_1} = \widehat {N_1}$ . Αλλά αυτό είναι άτοπο γιατί η $\widehat {A_1}$ είναι οξεία ενώ η $\widehat {N_1}= 180- \widehat {N_2}$ είναι αμβλεία. Και λοιπά.

Μισή διάμεσος

Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Re: Μισή διάμεσος

Μέλη σε σύνδεση