Άθροισμα αποστάσεων σε γωνίες 60 μοιρών

[duamba]

Λήψη ggb

Οι και είναι δύο γωνίες ° η καθεμία. Ένα σημείο λαμβάνεται εντός της γωνίας και οι κάθετες , και σχεδιάζονται από το προς τις , και αντίστοιχα. Δείξτε ότι .

[Μιχάλης Νάννος]

Οι και είναι δύο γωνίες ° η καθεμία. Ένα σημείο λαμβάνεται εντός της γωνίας και οι κάθετες , και σχεδιάζονται από το προς τις , και αντίστοιχα. Δείξτε ότι .

shape.jpg (41.59 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Από το φέρνω παράλληλη στην και έστω τα σημεία τομής με τις αντίστοιχα.

Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και θέτω .

Η λύση πλέον είναι προφανής…

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Λήψη ggb

Οι και είναι δύο γωνίες ° η καθεμία. Ένα σημείο λαμβάνεται εντός της γωνίας και οι κάθετες , και σχεδιάζονται από το προς τις , και αντίστοιχα. Δείξτε ότι .

προφανώς είναι ομοκυκλικά,άρα ισόπλευρο,οπότε (γνωστή πρόταση)

Άθροισμα αποστάσεων....png (32.52 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές

[george visvikis]

Λήψη ggb

Οι και είναι δύο γωνίες ° η καθεμία. Ένα σημείο λαμβάνεται εντός της γωνίας και οι κάθετες , και σχεδιάζονται από το προς τις , και αντίστοιχα. Δείξτε ότι .

Άθροισμα αποστάσεων.D.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές

Επειδή το είναι ισόπλευρο, το άθροισμα των αποστάσεων θα είναι ίσο με το ύψος του ισοπλεύρου, δηλαδή ίσο με το

[Mihalis_Lambrou]

Λήψη ggb

Οι και είναι δύο γωνίες ° η καθεμία. Ένα σημείο λαμβάνεται εντός της γωνίας και οι κάθετες , και σχεδιάζονται από το προς τις , και αντίστοιχα. Δείξτε ότι .

άθρ αποσ.png (49.76 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

.
O κύκλος με διάμετρο διέρχεται από τα διότι την βλέπουν (εξ υποθέσεως) κατά ορθή γωνία. Άρα τα είναι ομικυκλικά. Έυκολα τώρα βλέπεουμε ότι οι σημειωμένες γωνίες είναι . Πράγματι και , οπότε από το εγγράψιμο είναι . Άρα . Ειδικά το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού , οπότε μπορούμε να θέσουμε .

Τέλος, από Πτολεμαίο στο εγγράψιμο έχουμε , από όπου το ζητούμενο.

Edit. Τώρα βλέπω τις παραπάνω λύσεις. Δεν υπήρχαν όταν ξεκίνησα να γράφω. Ειδικά η λύση του Μιχάλη Τσουρακάκη είναι ίδια με την δική μου, που ήλθε αργότερα. Το αφήνω για τον κόπο.

[STOPJOHN]

Λήψη ggb

Οι και είναι δύο γωνίες ° η καθεμία. Ένα σημείο λαμβάνεται εντός της γωνίας και οι κάθετες , και σχεδιάζονται από το προς τις , και αντίστοιχα. Δείξτε ότι .

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και



Τότε τα τετράπλευρα είναι ορθογώνια και τα ορθογώνια τρίγωνα

είναι ίσα . Οπότε

YΓ Ευχαριστούμε τον Γιώργο Μαργαρίτη και τον Αλέξανδρο για τις προσπάθειες τους