Άθροισμα τεσσάρων κύβων

#1

.
Να βρεθούν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί

a,\,b,\, c,\, d

με

a^3+b^3+c^3+d^3=10 0^{2026}

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.)

Edit. 'Εκανα διόρθωση στην εκφώνηση.

.

#2

.
Ανοικτή σε όλους.

Nikitas K. · #3

a:= A\cdot 100^{675}

,

b := B\cdot 100^{675}

,

c := C \cdot 100^{675}

,

d := D \cdot 100^{675}

άρα η συνθήκη γράφεται:

A^3 + B^3 + C^3 + D^3 = 10~000

Από τον παρακάτω πίνακα των πρώτων

κύβων ψάχνουμε τέσσερεις διαφορετικούς αριθμούς της δεξιάς στήλης που το άθροισμά τους να είναι ίσο με

10~000

:

{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 8 \\ 3 & 27 \\ 4 & 64 \\ 5 & 125 \\ 6 & 216 \\ 7 & 343 \\ 8 & 512 \\ 9 & 729 \\ 10 & 1~000 \\ 11 & 1~331 \\ 12 & 1~728 \\ 13 & 2~197 \\ 14 & 2~744 \\ 15 & 3~375 \\ 16 & 4~096 \\ 17 & 4~913 \\ 18 & 5~832 \\ 19 & 6~859 \\ 20 & 8~000 \\ 21 & 9~261 \\ \end{pmatrix}}

Διαλέγοντας όσο πιο μεγάλους αριθμούς γίνεται σε κάθε βήμα βρίσκουμε ότι:

5 ~ 832 + 4 ~ 096 + 64 + 8 = 10 ~ 000

και

5 ~ 832 + 3 ~ 375 + 729 + 64 = 10 ~ 000

Άρα

\left\{A,B,C,D\right\} \in \left \{ \{18, 16, 4, 2\}, \{18, 15, 9, 4\}\right\}

Επομένως

\{a,b,c,d\} \in \left\{ \{18\cdot 100^{675}, 16\cdot 100^{675}, 4\cdot 100^{675}, 2\cdot 100^{675}\}, \{18\cdot 100^{675},15\cdot 100^{675},9\cdot 100^{675},4\cdot 100^{675}\}\right\}

#4

Σωστά μεν, αλλά αυτή είναι ουσιαστικά λύση στην οποία έγινε χρήση προγράμματος σε υπολογιστή, το οποίο όμως αποκρύπτεται από την λύση.

Υπάρχει λύση που δεν προσφεύγει σε μεγάλα νούμερα, και δεν χρειάζεται υπολογιστής για να μας κάνει τις πράξεις.

Θα την γράψω, αν χρειαστεί.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιουν 06, 2026 4:57 pm .
Να βρεθούν τέσσερις διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί $a,\,b,\, c,\, d$ με $a^3+b^3+c^3+d^3=10 ^{2026}$

.
Χρησιμοποιούμε την ισότητα 1^3+2^3+3^3+4^3=100

(*), οπότε μας μένει ακόμη ένας παράγοντας

100^{2025}=100 ^{3\times 675}

. Πολλαπλασιάζουμε λοιπόν την (*) επί τον τέλειο κύβο

100^{2025}

. Και λοιπά.

Άθροισμα τεσσάρων κύβων

Άθροισμα τεσσάρων κύβων

Re: Άθροισμα τεσσάρων κύβων

Re: Άθροισμα τεσσάρων κύβων

Re: Άθροισμα τεσσάρων κύβων

Re: Άθροισμα τεσσάρων κύβων

Μέλη σε σύνδεση