Κινέζικη 1

STOPJOHN · #1

Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες

\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}

είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι

AZ,B\Delta

είναι κάθετες

#2

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

: Κινεζ.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

.
Με Αναλυτική Γεωμετρία είναι πολύ απλή, αλλά θα το κάνω με Ευκλείδεια μέσα για να είμαι εντός φακέλου/πνεύματος.

Φέρνουμε

ZF \perp AC

, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα

ZDF, \, ABD

είναι όμοια καθώς έχουν ίσες τις γωνίες τους

. Άρα, αφού

AB=2AD=2d

θα είναι και

ZF=2DF=2e

. Επίσης, αφού

\angle C= 45^o

, έχουμε

FC=ZF=2e

και άρα

d=DC=DF+FC=e+2e=3e

.

Άρα το ορθογώνιο τρίγωνο AFZ

έχει κάθετες πλευρές

AF=d+e=3e+e=4e

και

ZF=2e

(η μία διπλάσια της άλλης) και άρα είναι όμοιο με το ADB

(η μία κάθετος διπλάσια της άλλης). Ειδικά

\widehat {ADB}= \widehat {AZF}

. Αλλά οι γωνίες αυτές έχουν κάθετες τις πλευρές τους

AD, \, ZF

, οπότε θα είναι κάθετες και οι άλλες δύο,

DB\perp AZ

, όπως θέλαμε.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm
Λήψη ggb
Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

Αν η κάθετη στην

στο

τέμνει την

στο

, προφανώς τα τρίγωνα ABD,EDC

είναι ίσα, άρα

EC=//AB\Rightarrow ABEC

τετράγωνο.

Επειδή

\dfrac{EZ}{ZD}= \dfrac{EB}{CD}=2

,το

είναι κέντρο βάρους του τριγώνου EAC

άρα

είναι μέσον της

Τώρα,από την προφανή ισότητα των ορθ.τριγώνων

AMC,ABD

είναι $\theta = \phi$ kκαι το ζητούμενο είναι άμεσο

: Κινέζικη.png (29.42 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

#4

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm
Λήψη ggb
Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

Η κάθετη στην

στο μέσο της

διχοτομεί την

\widehat {ZDB}

( δηλαδή οι δύο κόκκινες είναι από $\theta$ ).

και τέμνει την

στο μέσο της

. Ας είναι και

το μέσο της

.

Το τετράπλευρο ADMN

είναι τετράγωνο , επί πλέον το σημείο τομής ,

, των

AM\,\,,\,\,BD\,\,

: Κινέζα_new_new.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές

είναι το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Η τρίτη διάμεσος

θα διέρχεται από το

αλλά και από το μέσο,

, του

, γιατί

AB//DM

, έτσι η

θα είναι μεσοκάθετος στο $\vartriangle ABC$ .

Όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες , έστω με $\omega$ . Στο σημείο

μια κίτρινη και μια κόκκινη

είναι συμπληρωματικές , οπότε $\omega + \theta = 90^\circ$ , κατά συνέπεια

BD \bot AZ\,\,\,,\,\,\,CN \bot DZ

.

#5

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

: Κινεζ 2.png (7.96 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

.
Αφού είδαμε Ευκλείδειες λύσεις, ας δούμε και με Αναλυτική, που είναι ρουτίνα:

Με αρχή των αξόνων το

είναι

A(0,0), \, D(d,0), \, C(2d,0),\,B(9,2d)

και η

έχει κλίση

. Έπεται, λόγω της ισότητας των δύο γωνιών $\theta$ , ότι η κλίση της

είναι

και άρα η εξίσωσή της είναι

y=2(x-d)

. Επίσης. η εξίσωση της

είναι

y=2d-x

.

Λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων βρίσκουμε το κοινό τους σημείο

Z\left ( \dfrac {4d}{3}, \, \dfrac {2d}{3}\right)

και άρα η κλίση της

είναι

\dfrac {2d/3}{4d/3}= \dfrac {1}{2}

από όπου προκύπτει αμέσως από τις αντίστοιχες κλίσεις ότι η

είναι κάθετη στην

.

Ιστοσελίδα · #6

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm
Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

: shape.jpg (28.42 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές

Έστω

ZK \bot AB

και

E \equiv B\Delta \cap ZK

.

Το τρίγωνο $\Delta EZ$ είναι ισοσκελές και από

Z\Delta \Gamma \mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } {\rm E}\Delta {\rm A} \Rightarrow \angle \Delta \Gamma {\rm Z} = \angle \Delta {\rm A}{\rm E} = \angle {\rm E}{\rm A}{\rm K} = {45^ \circ }

.

Έτσι, η

είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας

του ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , άρα και ύψος, οπότε το

είναι το ορθόκεντρο του ABZ

και το ζητούμενο έπεται.

#7

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Ιουν 06, 2026 9:57 am
STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm
Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες
shape.jpgΈστω $ZK \bot AB$ και $E \equiv B\Delta \cap ZK$ .

Το τρίγωνο $\Delta EZ$ είναι ισοσκελές και από $Z\Delta \Gamma \mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } {\rm E}\Delta {\rm A} \Rightarrow \angle \Delta \Gamma {\rm Z} = \angle \Delta {\rm A}{\rm E} = \angle {\rm E}{\rm A}{\rm K} = {45^ \circ }$ .

Έτσι, η είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας του ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , άρα και ύψος, οπότε το είναι το ορθόκεντρο του και το ζητούμενο έπεται.

Μ άρεσε Μιχάλη η λύση σου .

Dimessi · #8

: Καθετότητα με διάμεσο.png (48.77 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

Από την αρμονική σημειοσειρά

(B,M,Z,C) (\angle BDM=\angle MDZ \wedge DM \perp DC),

ZC=2ZM.

μέσο του

ZC, QC=ZQ=ZM.

\vartriangle DMC

ορθογώνιο ισοσκελές οπότε

\angle QDC=\angle MDZ=\angle BDM \Rightarrow \angle QDB=90^\circ.

DB \perp QD \parallel AZ.

Γιώργος Μήτσιος · #9

Καλό βράδυ σε όλους! Ευχαριστούμε για την αναβάθμιση του !

Αν

το μέσον της

και η

τέμνει την

στο

τότε από τις ίσες γωνίες

προκύπτει

AMN \parallel DZ

και

BN=NZ=ZC

: Κινέζικη 1.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Φέρω

NH \perp AB

και ας είναι AB=AC=6

. Εύκολα βρίσκουμε :

AD=3, AH=4, NH=BH=2

και

AN=2\sqrt{5}

ενώ

BZ=4\sqrt{2}

. Ακόμη

DZ=AN/2=\sqrt{5}

. Έτσι έχουμε

AB^{2}-BZ^{2}=6^{2}-\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}=4

,

αλλά και

AD^{2}-DZ^{2}=3^{2}-\left ( \sqrt{5} \right )^{2}=4

. Από το κριτήριο καθετότητας έπεται $BD \perp AZ$

Φιλικά, Γιώργος!

STOPJOHN · #10

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm
Λήψη ggb
Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

To σημείο

είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου $AB\Gamma$ Οπότε

T\Delta \perp A\Gamma ,\hat{\Delta T\Gamma }=45^{0},GZ//A\Gamma ,\hat{Z\Delta \Gamma }=\hat{GZ\Delta }=\phi , \hat{G\Delta A}=\phi =\hat{\Delta GZ} ,Z\Delta =G\Delta =\dfrac{1}{3}B\Delta =\dfrac{b\sqrt{5}}{6},AG^{2}=\dfrac{a^{2}}{9},

Αρα ισχύει η συνθήκη καθετότητας

AG^{2} +Z\Delta ^{2}=ZG^{2}+A\Delta ^{2}\Leftrightarrow AZ\perp G\Delta

#11

STOPJOHN έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:26 pm
Λήψη ggb
Την άσκηση προτείνει ο Μπάμπης Στεργίου
Αν (α) Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,Α=90

(β) Η ΒΔ είναι διάμεσος

(γ) Οι γωνίες $\hat{Z\Delta \Gamma },\hat{A\Delta B}$ είναι ίσες

Να αποδειχθει ότι $AZ,B\Delta$ είναι κάθετες

Έστω

τα μέσα των BC, AB

και

το σημείο τομής των

MD, CP.

Το

είναι μέσο του MD,

αφού το

είναι παραλληλόγραμμο. Προφανώς η

είναι διχοτόμος των

G\widehat MZ, G\widehat DZ.

: Κινέζικη 1.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Άρα το

MGDZ

είναι χαρταετός κι επειδή

MG=MZ

και τα σημεία

C, N, G

είναι συνευθειακά,

και τα

A, N, Z

θα είναι συνευθειακά. Έχουμε λοιπόν το

μέσο του

BC, MD\bot AC

και

μέσο

του MD,

οπότε από τη θεϊκή καθετότητα, θα είναι

AN\bot BD.

Κινέζικη 1

Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Re: Κινέζικη 1

Μέλη σε σύνδεση