Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Αποτελεσματική μεγιστοποίηση.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας r=5

, σε σημείο

της

, για το οποίο OT=4

υψώνω το κάθετο τμήμα

. Θεωρώ σημείο

του τόξου $\overset{\frown}{SB}$ , έτσι ώστε SP=x

και

σημείο

της

τέτοιο ώστε :

PQ \parallel ST

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του POQ

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 6:53 pm Αποτελεσματική μεγιστοποίηση.pngΣτο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας , σε σημείο της , για το οποίο

υψώνω το κάθετο τμήμα . Θεωρώ σημείο του τόξου $\overset{\frown}{SB}$ , έτσι ώστε και

σημείο της τέτοιο ώστε : $PQ \parallel ST$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του .

: αποτ.png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

.
Έστω

OR=a

. Από τα όμοια τρίγωνα

ΟRQ, OTS

εύκολα βλέπουμε ότι

QR=\dfrac {3}{4} a

. Άρα το δοθέν εμβαδόν είναι

(OPQ)=(OPR)-(OQR) = \dfrac {1}{2}PR\cdot OR-\dfrac {1}{2}QR\cdot OR= \dfrac {1}{2}\sqrt {5^2-a^2}a- \dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {3}{4}a\cdot a

(*)

Με παραγώγιση (αφήνω την κοπιαστική πληκτρολόγιση ως ρουτίνα) έχουμε μέγιστο όταν $a=\sqrt 5$ . Είναι τότε με αντικατάσταση στην (*),

\boxed {(OPQ)_{max }= \dfrac {25}{8}}

(Το

δεν έπαιξε ρόλο. Άλλωστε ούτε στην εκφώνηση έπαιξε ρόλο: Υπάρχει ένας άγραφος νόμος που λέει όται αν ένα σύμβολο χρησιμοποιείται μόνο μία φορά σε μία εκφώνηση, τότε δεν χρειάζεται να βρίσκεται εκεί.)

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιουν 10, 2026 9:52 pm
Το δεν έπαιξε ρόλο...

Σωστή παρατήρηση . Αρχική μου πρόθεση ήταν να ζητήσω την τιμή του

που δίνει το μέγιστο εμβαδόν .

Με την ευκαιρία , προσθέτω δύο ερωτήματα : α) Να εξεταστεί αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης

το τρίγωνο POQ

είναι ισοσκελές και β) να βρεθεί η τότε

\tan{POS}

. ( Αποτελεσματική ! )

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 6:13 am α) Να εξεταστεί αν κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης

το τρίγωνο είναι ισοσκελές και β) να βρεθεί η τότε $\tan{POS}$ . ( Αποτελεσματική ! )

: αποτ.png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

.
α)

OQ= \sqrt {OR^2+QR^2}= \sqrt {a^2 + \left (\dfrac {3a}{4} a\right )^2} = \dfrac {5a}{4} = \dfrac {5\sqrt 5}{4}

Επίσης

PR= \sqrt { 5^2-(\sqrt 5)^2} = 2\sqrt 5

, άρα

PQ= 2\sqrt 5-QR=2\sqrt 5- \dfrac {3\sqrt 5}{4} = \dfrac {5\sqrt 5}{4} = OQ

, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

β) Αφού

\tan (\angle POR)= \dfrac {PR}{OR}= \dfrac {2\sqrt 5}{\sqrt 5}=2

και

\tan ( \angle QOR) = \dfrac {3}{4}

έχουμε

\tan ( \angle POS)= \tan ( \angle POR- \angle QOR) = \dfrac {2-\dfrac {3}{4}}{1+ 2\cdot \dfrac {3}{4}}= \dfrac {1}{2}

KARKAR · #5

Επίσης το

κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης ισούται με

\sqrt{50-20\sqrt{5}}

( με νόμο συνημιτόνων στο OSP

) .

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 2:26 pm Επίσης το κατά την στιγμή της μεγιστοποίησης ισούται με $\sqrt{50-20\sqrt{5}}$

( με νόμο συνημιτόνων στο ) .

Είναι άμεσο αφού ξέρουμε τις άλλες δύο πλευρές (είναι μάλιστα ίσες) και την περιεχόμενη γωνία. Δεν το έγραψα γιατί δεν το ζήταγε η άσκηση.

Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Re: Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Re: Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Re: Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Re: Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Re: Αποτελεσματική μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση