Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη.png (7.98 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

$\bigstar$ Το ABCD

είναι τετράγωνο πλευράς

και το

είναι ισεμβαδικό του ορθογώνιο .

Αν : DE=EZ

, υπολογίστε την : $\tan\phi$ . ( Το

βρίσκεται στην προέκταση της

) .

athanasio · #2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 16, 2026 9:43 am Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη.png $\bigstar$ Το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι ισεμβαδικό του ορθογώνιο .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan\phi$ . ( Το βρίσκεται στην προέκταση της ) .

Θέτουμε

b=AE

Επομένως:

(HZEA)=(ABGD)

, άρα

b\bullet EZ=b\bullet ED=a^{2}

.

Επίσης:

sin\phi =\frac{a}{ED}=\frac{a}{\frac{a^{2}}{b}}=\frac{1}{tan\varphi }

και:

cos\phi =\frac{b}{ED}=\frac{b^{2}}{{a^{2}}}=\frac{1}{tan^{2}\varphi }

Κάνουμε αντικατάσταση στην ταυτότητα και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει:

sin^{2}\phi +cos^{2}\phi=1\Leftrightarrow \frac{1}{tan^{2}\varphi }+\frac{1}{tan^{4}\varphi }=1\Leftrightarrow tan^{4}\phi - tan^{2}\phi -1=0

(η $\phi$ οξεία, άρα ορίζονται τα παραπάνω)
Δεκτές μόνο οι θετικές λύσεις.
Επομένως:

tan^{2}\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow tan\varphi=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}

Ουσιαστικά συνδέεται με τον γεωμετρικό μέσο της ΑΕ και της υποτείνουσας...
Ωραία άσκηση!!!

kfd · #3

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 16, 2026 9:43 am Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη.png $\bigstar$ Το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι ισεμβαδικό του ορθογώνιο .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan\phi$ . ( Το βρίσκεται στην προέκταση της ) .

.
Αν

η πλευρά του τετραγώνου και

η μικρή πλευρά του ορθογωνίου, τότε η άλλη είναι εξ υποθέσεως $\sqrt {a^2+b^2}$ . Άρα η ισότητα των εμβαδών γίνεται

a^2=b\sqrt {a^2+b^2}

., ισοδύναμα

(a^2)^2-a^2b^2-b^4=0

ή αλλιώς

a^2= \dfrac {1+\sqrt 5}{2} b^2= \phi b^2

(*).
΄
Άρα το ζητούμενο

\tan \widehat {AED} = \dfrac {a}{b} =^{(*)} \sqrt {\phi}

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 16, 2026 9:43 am Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη.png $\bigstar$ Το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι ισεμβαδικό του ορθογώνιο .

Αν : , υπολογίστε την : $\tan\phi$ . ( Το βρίσκεται στην προέκταση της ) .

Έστω

TM\perp ED,DE=ZE=y,AE=x,

Από το ισοσκελές τρίγωνο

DEZ

και

,

\hat{ADT}=\hat{TDE}

Από το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ADE

και τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα

ATD,TMD

,

AT=\dfrac{x^{2}}{a+x},TE=\dfrac{ax}{a+x},y=\dfrac{a^{2}}{x}

Ακόμη ισχύουν

ME=\dfrac{a^{2}}{x}-a,TM=AT=\dfrac{x^{2}}{a+x},TE=\dfrac{ax}{a+x}, TE^{2}=TM^{2}+ME^{2}\Rightarrow x^{4}+a^{2}x^{2}-a^{4}=0, \dfrac{a}{x} =\sqrt{\Phi },tan\phi =\sqrt{\Phi }

Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

Re: Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

Re: Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

Re: Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

Re: Ισεμβαδικότητα και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση