Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

athanasio · #1

Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα ABEZ

και

KEMN

είναι τετράγωνα. Η πλευρά

KN=8cm

και η διαγώνιος

AK=6cm

. Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου AKZ

;

Dinhoo37 · #2

από ΠΘ στο ΑΚΖ.

a+b=KN=8

άρα

(a+b)^2 = 64

(a+b)^2 - (a^2+b^2) = 2ab = 28 \Rightarrow ab = 14

.

[AKZ]= \frac{1}{2}(ab)=7

.

Edit: αριθμητικό

athanasio · #3

Dinhoo37 έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 3:10 pm από ΠΘ στο ΑΚΖ.
$a+b=KN=8$ άρα $(a+b)^2 = 64$
$(a+b)^2 - (a^2+b^2) = 2ab = 28 \Rightarrow ab = 14$ .
$[AKZ]= \frac{1}{2}(ab)=7$ .

Edit: αριθμητικό

Μπράβο, ωραία και "ζουμερή" λύση!

Αλλά επειδή υπάρχουν κι άλλοι τρόποι, που ο καθένας από αυτούς "προσφέρει κάτι διαφορετικό" στην άσκηση, ας μείνει ακόμα ανοιχτή...

#4

athanasio έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 1:55 pm Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα και $KEMN$ είναι τετράγωνα. Η πλευρά $KN=8cm$ και η διαγώνιος $AK=6cm$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ;

Καλησπέρα από Γρεβενά....

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο πρώτο σχήμα:

: Δύο τετράγωνα με εμβαδόν 1.png (8.44 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Από το ορθογώνιο τρίγωνο

AZK

προκύπτει:

n^2+(8-n)^2=36 \Leftrightarrow n^2-8n+14=0 \ \ (1)

Η (1) έχει ρίζες τις

n_1=4+\sqrt{2} \ \ (2) , \\ n_2=4-\sqrt{2} \ \ (3)

Για την τιμή

n_1=4+\sqrt{2}

προκύπτει το ανωτέρω σχήμα και θα είναι:

KZ=4-\sqrt{2}, \ \ ZA=4+\sqrt{2}

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:

E(AKZ)=7

Για την τιμή

n_1=4-\sqrt{2}

προκύπτει το ακόλουθο σχήμα:

: Δύο τετράγωνα με εμβαδόν 2.png (9.31 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Για το οποίο ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα.

Βέβαια και στα δυο σχήμα είναι:

KA=6, \ \ AE=6

Κώστας Δόρτσιος

athanasio · #5

KDORTSI έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 11:18 pm
Καλησπέρα από Γρεβενά...
...

Για το οποίο ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα.

Σωστό!!

Και πώς να μην "ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα";
Αφού:

n_{1}=8-n_{2}

(και φυσικά και το "ανάποδο")

Δηλαδή βρίσκουμε το ύψος του τριγώνου.
Αν αυτό είναι το $n_{1}$ , τότε η βάση είναι το $n_{2}$ .
Αν αυτό είναι το $n_{2}$ , τότε η βάση είναι το $n_{1}$ .
Οπότε το εμβαδό θα βγει το ίδιο σε κάθε περίπτωση!

Αυτό που θα έκανα διαφορετικό, είναι το σχήμα:
Θα έκανα ένα σαν το πρώτο, με μικρότερο το "πάνω τετράγωνο" (και ίδια η

φυσικά), που το ύψος του τριγώνου του πρώτου σχήματος θα γινόταν βάση του τριγώνου του δεύτερου.
Αυτή άλλωστε ήταν η έμπνευση της δημιουργίας της άσκησης...

...αλλά έχω υπόψιν μου κι άλλη μία λύση... οπότε ας περιμένουμε...

athanasio · #6

Μία ακόμα λύση:

Στην αρχή είναι ίδια με του κ. Δόρτσιου.
Αλλά υπολογίζουμε απευθείας το εμβαδό, χωρίς να λύσουμε το τριώνυμο που προκύπτει.

(Θα συμβολίσω την

με

αντί για

, διότι είχα έτοιμο έτσι το σχήμα).
Έχουμε (Πυθαγόρειο Θεώρημα στο AKZ

):

(8-x)^{2}+x^{2}=36

Επομένως, όπως και παραπάνω:

x^{2}-8x+14=0\Leftrightarrow 8x-x^{2}=14

Ερμηνεύοντας γεωμετρικά την εξίσωση (βλ. σχήμα παρακάτω), παρατηρούμε ότι:

8x=(OBEK)

και

x^{2}=(ABEZ)

Άρα:

8x-x^{2}=(ΟΑΖΚ)=2(AKZ)

οπότε:

2(AKZ)=14\Leftrightarrow (AKZ)=7

#7

athanasio έγραψε: Πέμ Ιουν 25, 2026 3:49 pm Έχουμε: $(8-x)x=36$
Επομένως, όπως και παραπάνω:
$x^{2}-8x+14=0\Leftrightarrow 8x-x^{2}=14$

Κάτι δεν βλέπω εδώ. Σίγουρα η πρώτη και η τελευταία είναι ασύμβατες.

Μάλλον θα υπάρχει κάποια τυπογραφική αβλεψία.

athanasio · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιουν 25, 2026 4:11 pm
athanasio έγραψε: Πέμ Ιουν 25, 2026 3:49 pm Έχουμε: $(8-x)x=36$
Επομένως, όπως και παραπάνω:
$x^{2}-8x+14=0\Leftrightarrow 8x-x^{2}=14$
Κάτι δεν βλέπω εδώ. Σίγουρα η πρώτη και η τελευταία είναι ασύμβατες.

Μάλλον θα υπάρχει κάποια τυπογραφική αβλεψία.

Ναι, το είχα διορθώσει σχεδόν ταυτόχρονα. Ευχαριστώ!

Ιστοσελίδα · #9

athanasio έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 1:55 pm Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα και $KEMN$ είναι τετράγωνα. Η πλευρά $KN=8cm$ και η διαγώνιος $AK=6cm$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ;

: shape.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές

athanasio · #10

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Παρ Ιουν 26, 2026 2:28 pm
athanasio έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 1:55 pm Στο παρακάτω σχήμα τα τετράπλευρα και $KEMN$ είναι τετράγωνα. Η πλευρά $KN=8cm$ και η διαγώνιος $AK=6cm$ . Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ;
shape.png

Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Re: Δύο τετράγωνα και εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση