Πράσινο (κυμαινόμενο) τιμολόγιο

[KARKAR]

Πράσινο τιμολόγιο.png (13.45 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές

Το παραλληλόγραμμο , έχει οξεία την γωνία , σταθερή σε θέση και μέγεθος την πλευρά

και σταθερή σε μέγεθος αλλά όχι σε θέση , την πλευρά . Η κάθετη από το προς την διαγώνιο ,

τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του και τη θέση της

κορυφής , όταν είναι : .

[Nikitas K.]

Πρώτο μέρος εύρεσης του γεωμετρικού τόπου του :

Με τους συμβολισμούς του σχήματος* αν το είναι στο ημιεπίπεδο εκτός των σημείων και τότε θα δειχθεί ότι το σημείο κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα εκτός των άκρων:

Λήψη ggb

Αρκεί να δειχθεί ότι

Ισχύει:



Από και και επειδή και σημαίνει ότι το είναι ορθογώνιο.

Οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο ( και ).

Επίσης επειδή από σημεία διέρχεται μοναδικός κύκλος και διότι είναι εγγράψιμο αναγκαστικά θα είναι και εγγεγραμμένο στον περιγεγραμμένο κύκλο του

Συνεπώς το είναι σημείο αυτού του κύκλου και επειδή συνεπάγεται ότι είναι η διάμετρος αυτού.

Από εδώ έπεται το ζητούμενο καθώς η αφού είναι εγγεγραμμένη που βαίνει στο ημικύκλιο.

* Αν θέλετε μπορείτε να πειραματιστείτε με το μπλε σημείο.

[Mihalis_Lambrou]

Ισχύει:

.
Νικήτα, από που προκύπτει αυτό;

Είναι μεν σωστό, αλλά και ουσιαστικό βήμα της απόδειξης (και μάλιστα ισοδύναμο του αποδεικτέου).

[Nikitas K.]

Ισχύει:

.
Νικήτα, από που προκύπτει αυτό;

Είναι μεν σωστό, αλλά και ουσιαστικό βήμα της απόδειξης (και μάλιστα ισοδύναμο του αποδεικτέου).

Καλησπέρα κ. Μιχάλη,

Είχα πάρει το σημείο συμμετρικό του ως προς το σημείο
Οπότε δηλαδή τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα από το Κ.Ι.Τ. (κριτήριο ισότητας τριγώνων) ορθογωνίων (Π-Π) αφού έχουν και κοινή την πλευρά

Επίσης είχα πάρει το σημείο να είναι το ίχνος της καθέτου του σημείου στην
Τώρα αν δούμε τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουμε:
από το δεδομένο παραλληλόγραμμο και
ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων και με τέμνουσα την διαγώνιο
Πάλι είναι ίσα από το Κ.Ι.Τ. ορθογωνίων (Π-Γ).

Υπάρχουν υποπεριπτώσεις για τις γωνίες και :

Στην 1η να είναι εσωτερικές γωνίες των τριγώνων οπότε το Κ.Ι.Τ. ισχύει και

στη 2η να είναι εξωτερικές γωνίες οπότε οπότε και πάλι ισχύει.

[Nikitas K.]

Επειδή το ποστ#2 καλύπτει μόνο την περίπτωση όπου δεν ταυτίζεται με το

Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη του ποστ#2 παρακάτω καλύπτω και την περίπτωση όπου ταυτίζεται με το

Αν ταυτίζεται με το που είναι σημείο του τότε το είναι στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου άρα εξ ορισμού των σημείων και αυτά πρέπει να ταυτίζονται οπότε το είναι σημείο του

[Nikitas K.]

Υ.Γ. Να συμπληρώσω στο ποστ#5 ότι το ταυτίζεται με το όταν το σημείο ταυτίζεται με το σημείο (που προστέθηκε στο σχήμα του ποστ#2)

Για την συγκεκριμμένη άσκηση δεν είναι απαραίτητο αυτό το ποστ αλλά επειδή είχα κάνει παρανάγνωση της εκφώνησης το αφήνω για τον κόπο.

Το ορίζεται ως το συμμετρικό του ως προς άρα η γωνία είναι ορθή και

Δεύτερο μέρος εύρεσης του γεωμετρικού τόπου του :

Αν είναι σημείο της δηλαδή ταυτίζεται με το σημείο τότε:

Αρκεί να δειχθεί ότι ταυτίζεται με το και το , δηλαδή αρκεί να δειχθεί ότι η γωνία είναι ορθή, και ότι είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του με το να είναι το σημείο επαφής.


Η απόδειξη μέχρι αυτό το σημείο ακολουθεί τα ίδια βήματα όπως και πριν:

Με τους συμβολισμούς του σχήματος...

Λήψη ggb

...
Ισχύει:



Από και και επειδή και σημαίνει ότι το είναι ορθογώνιο.

Οπότε το είναι ισοσκελές τραπέζιο ( και )...

* Αν θέλετε μπορείτε να πειραματιστείτε με το μπλε σημείο.

Επί την ευκαιρία επαναδιατυπώνω αυτό το σημείο εδώ:

Επίσης επειδή από σημεία διέρχεται μοναδικός κύκλος και διότι είναι εγγράψιμο αναγκαστικά θα είναι και εγγεγραμμένο στον περιγεγραμμένο κύκλο του

Ο περίκυκλος του ισοσκελούς τραπεζίου ταυτίζεται με τον περίκυκλο του αφού και οι δύο διέρχονται από τα σημεία και που τους προσδιορίζουν μοναδικά.

Άρα το σημείο είναι σημείο του περίκυκλου του


Συνεχίζουμε από εδώ:

Ισχύει ότι:

Το είναι ορθογώνιο (εξ ορισμού).

Το είναι παραλληλόγραμμο αφού ()

Επίσης από και εξ ορισμού τότε σύμφωνα με το 5ο αίτημα παραλληλίας τα είναι συνευθειακά.

Επιπλέον επειδή και εξ ορισμού είναι σημεία της ευθείας τότε είναι συνευθειακά.

μέσο από τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα και ( κοινή και καθώς έχουν μήκος )

( και ορθογώνιο)

Οπότε το είναι παραλληλόγραμμο από όπου και άρα ( ως εντός εναλλάξ και )

Από ως ορθές και ως μήκος τότε το σημείο ταυτίζεται με το


Επειδή είναι διάμετρος λόγω της εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει στο ημικύκλιο και διότι
είναι ορθή λόγω του ορθογωνίου έχουμε ότι (που βρίσκεται στο φορέα της ) είναι εφαπτόμενο τμήμα αυτού του κύκλου άρα ταυτίζεται με το σημείο

Οπότε το σημείο ταυτίζεται με το μέσω του

[Nikitas K.]

Για να κλείσει η άσκηση:

Πρόσθεσα τα σημεία και στο σχήμα του ποστ#2

Το κινείται στο τόξο (εκτός του ) άρα το κινείται στο ευθύγγραμμο τμήμα (εκτός του )

Και για το δεύτερο ερώτημα:

Αρκεί να βρεθεί η μοναδική θέση του κατά την οποία το εφάπτεται του περίκυκλου του και για αυτή να δειχθεί ότι

Αν είναι το σημείο της μεσοκαθέτου του σε απόσταση από το και (βλέπε σημείο ) το σημείο που προκύπτει από τη συμπλήρωση του παραλληλογράμμου (βλέπε το ) τότε με βάση τους συμβολισμούς του παρακάτω σχήματος:

Λήψη ggb

Από πυθαγόρεια τριάδα προκύπτει

Άρα

Από προκύπτει:



Από δύναμη του σημείου ως προς τον περίκυκλο του :

[Nikitas K.]

Μέρος τρίτο, ώστε να μην «παραπονιέται» το :

Με τους συμβολισμούς του σχήματος του ποστ#2:

Αν τότε
και

Όμως οπότε από το 5ο αξίωμα τα είναι συνευθειακά και λόγω
(ως μήκος ) τότε και άρα το είναι ορθογώνιο, αφού παραλληλόγραμμο με

Άρα είναι σημείο του περίκυκλου του (διότι...) και για αυτό ταυτίζεται με το σημείο

Επομένως το σημείο ταυτίζεται με το σημείο μέσω του όπως θέλαμε.