Σχολικό βιβλίο Γ΄ λυκείου σελ. 77, σχόλιο

[athanasio]

Μία απορία που είχα από παλιά για το παραπάνω σχόλιο της σελ. 77 του σχολικού βιβλίου, κάτω από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής.

Γράφει:
"Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο
τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το είναι το κλειστό διάστημα , όπου η ελάχιστη τιμή και η μέγιστη τιμή της".

Ισχύει; Δεν πρέπει να είναι η συνάρτηση και μη σταθερή;

Να σημειώσουμε εδώ ότι ακριβώς στην προηγούμενη σελίδα 76, γράφει κάτω-κάτω:
"Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα".

Προφανώς η φράση "και μη σταθερής συνάρτησης" μπήκε στη σελ.76, διότι, αν είναι σταθερή, η εικόνα είναι μονοσύνολο, που δεν είναι διάστημα (αλλιώς δεν θα έβαζε τον περιορισμό).

[Dinhoo37]

Δεν είμαι Γ’ Λυκείου αλλά θεωρώ πως εάν μία συνάρτηση είναι σταθερή
π.χ. για κάποιο και έχει
δεν είναι λάθος να πεις ότι το σύνολο τιμών της είναι
, δηλαδή .

Ισχύει εξάλλου .

Μπορεί βέβαια να κάνω λάθος.

[athanasio]

Δεν είμαι Γ’ Λυκείου αλλά θεωρώ πως εάν μία συνάρτηση είναι σταθερή
π.χ. για κάποιο και έχει
δεν είναι λάθος να πεις ότι το σύνολο τιμών της είναι
, δηλαδή .

Ισχύει εξάλλου .

Μπορεί βέβαια να κάνω λάθος.

Το θέμα είναι άλλο: αν θεωρείται διάστημα το .

Αν είναι, τότε γιατί στη σελ. 76 υπάρχει ο περιορισμός "και μη σταθερής" (συνάρτησης);
Θα πει κάποιος ότι δεν είναι "λογικό λάθος" να μπει, εφόσον θεωρούμε το διάστημα.
Ναι, ισχύει ΚΑΙ για τις μη σταθερές συναρτήσεις (και για τις γνήσια μονότονες και τις 1-1 και τις περιττές και τις άρτιες.... ).
Αλλά όταν διατυπώνουμε μία πρόταση, προσπαθούμε να κάνουμε "οικονομία" υποθέσεων.

Και το ερώτημα που προκύπτει είναι:
Αν στις πανελλήνιες πέσει ως σωστό - λάθος η πρόταση:
"Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς (σκέτο) συνάρτησης είναι διάστημα"
πρέπει να απαντήσουμε: ΣΩΣΤΟ;

Διότι σύμφωνα με το σχόλιο της σελ. 77 και με τα συμπεράσματα που βγάζουμε από αυτήν (δηλαδή θεωρείται διάστημα το , που προκύπτει ως σύνολο τιμών, όταν είναι σταθερή), φαίνεται ότι έτσι πρέπει να απαντήσουμε.

[athanasio]

Γνωρίζουμε αν έχει δοθεί πάνω σε αυτό το θέμα κάποια οδηγία από κάποιον σύμβουλο εκπαίδευσης, υπουργό κλπ;

[Λευτέρης Παπανικολάου]

Δεν είμαι Γ’ Λυκείου αλλά θεωρώ πως εάν μία συνάρτηση είναι σταθερή
π.χ. για κάποιο και έχει
δεν είναι λάθος να πεις ότι το σύνολο τιμών της είναι
, δηλαδή .

Ισχύει εξάλλου .

Μπορεί βέβαια να κάνω λάθος.

Το θέμα είναι άλλο: αν θεωρείται διάστημα το .

Αν είναι, τότε γιατί στη σελ. 76 υπάρχει ο περιορισμός "και μη σταθερής" (συνάρτησης);
Θα πει κάποιος ότι δεν είναι "λογικό λάθος" να μπει, εφόσον θεωρούμε το διάστημα.
Ναι, ισχύει ΚΑΙ για τις μη σταθερές συναρτήσεις (και για τις γνήσια μονότονες και τις 1-1 και τις περιττές και τις άρτιες.... ).
Αλλά όταν διατυπώνουμε μία πρόταση, προσπαθούμε να κάνουμε "οικονομία" υποθέσεων.

Και το ερώτημα που προκύπτει είναι:
Αν στις πανελλήνιες πέσει ως σωστό - λάθος η πρόταση:
"Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς (σκέτο) συνάρτησης είναι διάστημα"
πρέπει να απαντήσουμε: ΣΩΣΤΟ;

Διότι σύμφωνα με το σχόλιο της σελ. 77 και με τα συμπεράσματα που βγάζουμε από αυτήν (δηλαδή θεωρείται διάστημα το , που προκύπτει ως σύνολο τιμών, όταν είναι σταθερή), φαίνεται ότι έτσι πρέπει να απαντήσουμε.

Στα Μαθηματικά της Γ Λυκείου το μονοσύνολο δεν είναι διάστημα και τα (πραγματικά) άκρα κάθε διαστήματος είναι διαφορετικά. Οπότε η δεύτερη πρόταση που αναφέρεις (που ακολουθεί μετά το Θ.Μ.Ε.Τ.) είναι ελλιπής/λανθασμένη. Για αυτό και δεν έχει τεθεί, αν δεν κάνω σοβαρό λάθος, στα Σ/Λ στις πανελλήνιες εξετάσεις σε αντίθεση με την πρώτη (η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα). Από την άλλη, εγώ προσωπικά έχω μία μικρή ένσταση και για αυτήν: εκεί που γράφει ''μη σταθερής'' θα ήταν καλύτερα να έγραφε ''μη σταθερής στο Δ'' διότι μπορεί ΓΕΝΙΚΑ να μην είναι σταθερή ΑΛΛΑ να είναι σταθερή στο Δ. Κλείνοντας να απαντήσω και στο ερώτημα που έθεσες: Όχι ΔΕΝ θα απαντήσουμε σωστό. Βέβαια η σωστή διατύπωση θα πρέπει να είναι κάπως της μορφής ''για κάθε συνεχή συνάρτηση κλπ''

[Dinhoo37]

Απορία:

Γιατί δεν είναι διάστημα το μονοσύνολο;
Το απαγορεύει κάποιος ορισμός για το διάστημα;

[giannispapav]

Απορία:

Γιατί δεν είναι διάστημα το μονοσύνολο;
Το απαγορεύει κάποιος ορισμός για το διάστημα;

Στο σχολικό βιβλίο, σελίδα 12, τα διαστήματα ορίζονται με διαφορετικά άκρα.